Ache o vetor tangente unitário para a curva tendo a equação vetorial dada.
R(t) = e^t cos(t) i + e^t sen(t) j + e^t k

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma curva dada por uma equação vetorial:
A gente precisa encontrar o vetor tangente unitário dessa curva. Basicamente, isso quer dizer que a gente vai descobrir em que direção a curva está indo em cada ponto, e vamos normalizar esse vetor para que ele tenha comprimento 1. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções vetoriais e como calcular a magnitude de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da função vetorial . A derivada de uma função vetorial nos dá o vetor velocidade, que indica a direção em que a curva está se movendo naquele instante.
Vamos derivar cada componente de em relação a t:
  • A derivada de em relação a t é .
  • A derivada de em relação a t é .
  • A derivada de e^t em relação a t é e^t.
Portanto, a derivada é:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a magnitude desse vetor derivado . A magnitude de um vetor é dada por:
Aplicando isso à nossa :
  • A componente i é .
  • A componente j é .
  • A componente k é e^t.
Então, a magnitude é:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, observe que:
Isso ocorre porque . Portanto, a magnitude fica:

Passo 5

Agora que temos a derivada e sua magnitude, podemos encontrar o vetor tangente unitário, que é a derivada vetorial dividida pela sua magnitude:
Simplificando, podemos cancelar e^t:

Resposta

O vetor tangente unitário para a curva é:

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