Ache o vetor tangente unitário para a curva tendo a equação vetorial dada.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma curva dada por uma equação vetorial:
A gente precisa encontrar o vetor tangente unitário dessa curva. Basicamente, isso quer dizer que a gente vai descobrir em que direção a curva está indo em cada ponto, e vamos normalizar esse vetor para que ele tenha comprimento 1. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções vetoriais e como calcular a magnitude de um vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada da função vetorial
. A derivada de uma função vetorial nos dá o vetor velocidade, que indica a direção em que a curva está se movendo naquele instante.
Vamos derivar cada componente de
em relação a
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Portanto, a derivada
é:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a magnitude desse vetor derivado
. A magnitude de um vetor
é dada por:
Aplicando isso à nossa
:
- A componente
é . - A componente
é . - A componente
é .
Então, a magnitude é:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, observe que:
Isso ocorre porque
. Portanto, a magnitude fica:
Passo 5
Agora que temos a derivada e sua magnitude, podemos encontrar o vetor tangente unitário, que é a derivada vetorial dividida pela sua magnitude:
Simplificando, podemos cancelar
:
Resposta
O vetor tangente unitário para a curva é:
Exercícios relacionados
Ache a curvatura e o raio de curvatura no ponto dado.
a)
a)
Ache o comprimento do arco dado.
Uma partícula está se movendo ao longo da curva, tendo a equação vetorial dada. Ache os vetores
e os escalares
e
.
Encontre uma equação em coordenadas cilíndricas da superfície dada.