Ache as dimensões do cilindro circular reto de maior área lateral que pode ser inscrito na esfera de raio 6. Ache também as dimensões do de maior volume.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as dimensões de um cilindro circular reto que está dentro de uma esfera de raio 6. Precisamos fazer isso de duas maneiras: uma para o cilindro com a maior área lateral possível e outra para o cilindro com o maior volume possível.
Então, vamos usar conceitos de geometria e cálculo para resolver isso. Primeiro, vamos entender como o cilindro se encaixa na esfera e quais são as relações entre seus raios e alturas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o cilindro inscrito na esfera. Imagine um cilindro perfeitamente dentro da esfera, tocando-a exatamente nas laterais. O raio da esfera é 6, então o centro da esfera está no meio do cilindro.
Vamos chamar:
-
de raio da base do cilindro -
da altura do cilindro
Como o cilindro está dentro da esfera, a diagonal que vai do centro da esfera a um ponto na base do cilindro forma um triângulo retângulo com o raio do cilindro e metade da altura. Pelo Teorema de Pitágoras:
Simplificando:
Essa será nossa primeira equação de relação entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a expressão para a área lateral do cilindro. A área lateral (
) de um cilindro é dada por:
Queremos maximizar essa área. Para isso, vamos expressar
em função de
usando a equação que encontramos:
Substituindo na fórmula da área lateral:
Agora, temos
em função de apenas
. Vamos derivar essa função em relação a
e encontrar o valor de
que maximiza
.
Passo 4
Vamos derivar
em relação a
:
A derivada de
em relação a
é:
Simplificando:
Para encontrar o máximo, igualamos a derivada a zero:
Isso ocorre quando o numerador é zero:
Passo 5
Agora que encontramos
, vamos encontrar
usando a relação inicial:
Então, as dimensões do cilindro de maior área lateral são:
Passo 6
Agora, vamos encontrar as dimensões do cilindro com o maior volume. A fórmula do volume (
) de um cilindro é:
Usando novamente a relação
, podemos expressar
em termos de
:
Substituindo na fórmula do volume:
Vamos derivar
em relação a
para encontrar o valor que maximiza
.
Passo 7
Derivando
em relação a
:
A derivada é:
Simplificando:
Igualando a derivada a zero para encontrar o máximo:
Desprezando
, temos:
Passo 8
Agora que temos
, vamos encontrar
:
Portanto, as dimensões do cilindro de maior volume são:
Resposta
- Máxima Área Lateral: raio
e altura - Máximo Volume: raio
e altura
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Em cada item verifique se a função
é cont ínua, justificando sua resposta.
Em cada item verifique se a função
é cont ínua, justificando sua resposta.
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Encontre
, se
e
.