Em cada item verifique se a função
é cont ínua, justificando sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma função de duas variáveis,
, que é definida de duas formas diferentes dependendo do ponto
. Nosso objetivo é verificar se essa função é contínua em todos os pontos, ou se tem algum ponto onde ela não é contínua. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de continuidade em funções de várias variáveis e como calcular limites nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Em termos simples, uma função é contínua em um ponto se o limite dela, quando nos aproximamos desse ponto de qualquer direção, for igual ao valor da função naquele ponto. Para funções de duas variáveis, precisamos verificar isso nas duas direções
e
.
Passo 3
Vamos analisar a função
:
Primeiro, notamos que para todos os pontos diferentes de
, a função é uma fração envolvendo polinômios. Geralmente, polinômios são contínuos em todo lugar onde o denominador não é zero. Vamos verificar onde o denominador pode ser zero:
Para
, esse denominador não é zero porque:
Então, fora do ponto
, a função é contínua.
Passo 4
Agora, vamos verificar a continuidade no ponto
. Para isso, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
e ver se esse limite é igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.
Vamos simplificar a expressão da função para facilitar o cálculo do limite:
Observamos que simplificamos
para
.
Agora, consideramos uma substituição para facilitar:
Então, quando
, temos
e
. A função fica:
Para calcular o limite, vamos considerar que tanto
quanto
tendem a zero. Notamos que o numerador é
e o denominador é
.
Vamos analisar o comportamento quando
e
tendem a zero:
Podemos observar que o denominador cresce mais rápido que o numerador, já que o denominador está elevado ao cubo e possui termos quadráticos e de quarta potência. Portanto, o limite tende a zero.
Passo 5
Como o limite de
quando
se aproxima de
é igual a 0, que é exatamente o valor da função nesse ponto, concluímos que a função
é contínua no ponto
.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos, incluindo
.
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Ache as dimensões do cilindro circular reto de maior área lateral que pode ser inscrito na esfera de raio 6. Ache também as dimensões do de maior volume.
Em cada item verifique se a função
é cont ínua, justificando sua resposta.
Encontre
, se
e
.
Descreva e esboce o domínio de cada função.