Ache o domínio e imagem de
e calcule a função inversa
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente encontrar o domínio e a imagem da função
e também calcular a função inversa
. Para isso, vamos usar conceitos de funções logarítmicas, domínio e imagem de funções, e função inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Na nossa função
, temos o logaritmo natural
. Sabemos que o logaritmo só está definido para números positivos. Então, precisamos que
.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que
pode assumir. Considerando que
pode variar de
a
conforme
varia, e que estamos somando uma constante
, a imagem também será o conjunto de todos os números reais. Ou seja,
pode ser qualquer número real.
Passo 4
Agora, vamos calcular a função inversa
. A função inversa troca os papéis de
e
na equação original. Vamos seguir os passos:
- Começamos escrevendo a função original:
- Troca
por e por : - Agora, vamos isolar
: - Para eliminar o logaritmo, aplicamos a função exponencial dos dois lados:
- Simplificando a expressão usando propriedades dos expoentes:
Portanto:
Resposta
- Domínio da função
: . - Imagem da função
: (todos os números reais). - Função inversa:
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico das seguintes funções:
Esboce o gráfico das seguintes funções:
Determine todos os valores de
para os quais o seguinte problema de EDO com condiçõess de contorno tem ao menos uma solução não trivial. (Justifique as etapas da sua solução)
Dada a função definida por
Determine a série de Fourier de senos para
.