Ache o domínio e imagem de e calcule a função inversa :

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente encontrar o domínio e a imagem da função e também calcular a função inversa . Para isso, vamos usar conceitos de funções logarítmicas, domínio e imagem de funções, e função inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Na nossa função , temos o logaritmo natural . Sabemos que o logaritmo só está definido para números positivos. Então, precisamos que .

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Considerando que pode variar de a conforme varia, e que estamos somando uma constante , a imagem também será o conjunto de todos os números reais. Ou seja, pode ser qualquer número real.

Passo 4

Agora, vamos calcular a função inversa . A função inversa troca os papéis de e na equação original. Vamos seguir os passos:
  1. Começamos escrevendo a função original:
  2. Troca por e por :
  3. Agora, vamos isolar :
  4. Para eliminar o logaritmo, aplicamos a função exponencial dos dois lados:
  5. Simplificando a expressão usando propriedades dos expoentes: Portanto:

Resposta

  • Domínio da função : .
  • Imagem da função : (todos os números reais).
  • Função inversa:

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