Determine todos os valores de
para os quais o seguinte problema de EDO com condiçõess de contorno tem ao menos uma solução não trivial. (Justifique as etapas da sua solução)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial ordinária (EDO) com condições de contorno. A gente quer encontrar todos os valores de
para os quais a equação
satisfaz
e
, e que tenha pelo menos uma solução não trivial (ou seja, uma solução diferente da solução trivial
). Para isso, vamos precisar resolver a EDO e aplicar as condições de contorno para encontrar os valores de
que tornam isso possível.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente pode resolver encontrando as raízes da equação característica associada.
Passo 3
A equação característica é obtida assumindo soluções da forma
. Substituindo na EDO, temos:
Então, a equação característica é:
Passo 4
Resolvendo a equação característica para
:
Dependendo do valor de
, as raízes podem ser reais ou complexas, mas vamos considerar inicialmente
para termos raízes reais.
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da EDO é:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições de contorno.
Passo 6
Agora, aplicamos as condições de contorno. Primeiro,
:
Então, podemos reescrever a solução como:
Passo 7
Aplicamos agora a segunda condição de contorno:
:
Para que essa equação seja satisfeita e
(solução não trivial), precisamos que:
Mas isso só acontece se
, o que ocorre quando
, ou seja,
.
Passo 8
No entanto, se
, a equação diferencial se torna:
A solução geral dessa equação é:
Aplicando as condições de contorno:
Isso nos dá a solução trivial
, que não é o que queremos.
Passo 9
Portanto, não existe
que satisfaça as condições de contorno com uma solução não trivial. Agora, vamos considerar
. Vamos chamar
, onde
, para simplificar a análise.
Passo 10
Substituindo
na equação característica:
As raízes são complexas, então a solução geral da EDO é:
Passo 11
Aplicamos as condições de contorno. Primeiro,
:
Então, a solução simplifica para:
Passo 12
Agora, aplicamos a segunda condição de contorno:
:
Para que haja uma solução não trivial (
), precisamos que:
Isso acontece quando:
Então:
Passo 13
Lembrando que
e
, temos:
onde
é um número inteiro positivo (
) para termos soluções não triviais diferentes de zero.
Resposta
Os valores de
para os quais o problema tem pelo menos uma solução não trivial são