Determine todos os valores de lambda para os quais o seguinte problema de EDO com condiçõess de contorno tem ao menos uma solução não trivial. (Justifique as etapas da sua solução)
y''(x) - 4 lambda y(x) = 0, y(0) = 0, y(1) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial ordinária (EDO) com condições de contorno. A gente quer encontrar todos os valores de para os quais a equação
satisfaz e , e que tenha pelo menos uma solução não trivial (ou seja, uma solução diferente da solução trivial ). Para isso, vamos precisar resolver a EDO e aplicar as condições de contorno para encontrar os valores de que tornam isso possível.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente pode resolver encontrando as raízes da equação característica associada.

Passo 3

A equação característica é obtida assumindo soluções da forma . Substituindo na EDO, temos:
Então, a equação característica é:

Passo 4

Resolvendo a equação característica para :
Dependendo do valor de , as raízes podem ser reais ou complexas, mas vamos considerar inicialmente para termos raízes reais.

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da EDO é:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições de contorno.

Passo 6

Agora, aplicamos as condições de contorno. Primeiro, :
Então, podemos reescrever a solução como:

Passo 7

Aplicamos agora a segunda condição de contorno: :
Para que essa equação seja satisfeita e (solução não trivial), precisamos que:
Mas isso só acontece se , o que ocorre quando , ou seja, .

Passo 8

No entanto, se , a equação diferencial se torna:
A solução geral dessa equação é:
Aplicando as condições de contorno:
Isso nos dá a solução trivial , que não é o que queremos.

Passo 9

Portanto, não existe que satisfaça as condições de contorno com uma solução não trivial. Agora, vamos considerar . Vamos chamar , onde , para simplificar a análise.

Passo 10

Substituindo na equação característica:
As raízes são complexas, então a solução geral da EDO é:

Passo 11

Aplicamos as condições de contorno. Primeiro, :
Então, a solução simplifica para:

Passo 12

Agora, aplicamos a segunda condição de contorno: :
Para que haja uma solução não trivial ( ), precisamos que:
Isso acontece quando:
éú
Então:

Passo 13

Lembrando que e , temos:
onde é um número inteiro positivo ( ) para termos soluções não triviais diferentes de zero.

Resposta

Os valores de para os quais o problema tem pelo menos uma solução não trivial são

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