Ache o domínio, a imagem e desenhe o gráfico das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o domínio, a imagem e desenhar o gráfico da função dada. A função é uma função definida por partes, ou seja, ela tem comportamentos diferentes dependendo do valor de
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significam domínio (todos os valores de
para os quais a função está definida) e imagem (todos os valores que a função pode assumir). Além disso, vamos usar conceitos básicos de funções e gráficos.
Passo 2
Encontrando o Domínio
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Vamos analisar cada parte da função:
- Para
: A função é constante e igual a 1. Não há restrição aqui, então qualquer número menor que zero é válido. - Para
: A função é . A raiz quadrada de só está definida para maior ou igual a zero, o que já está contemplado na condição.
Conclusão: O domínio da função é todos os números reais. Em termos matemáticos:
Passo 3
Encontrando a Imagem
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que
pode assumir.
- Para
: A função vale sempre 1. Então, 1 está na imagem. - Para
: A função é . A raiz quadrada de começa em 0 (quando ) e aumenta à medida que aumenta. Então, os valores de são todos os números reais não negativos.
Conclusão: A imagem da função inclui todos os números reais não negativos, já que 1 está incluído nesse intervalo. Em termos matemáticos:
Passo 4
Desenhando o Gráfico
Vamos esboçar o gráfico da função por partes:
-
Para
: A função é constante . Isso será representado por uma linha horizontal no nível , que se estende para a esquerda de . Como a função não está definida exatamente em para essa parte, usamos um círculo aberto em . -
Para
: A função é . Isso é a típica curva da raiz quadrada, começando no ponto (0,0) e aumentando suavemente para a direita. Aqui, o ponto em é incluído, então usamos um círculo fechado.
Observações:
- Em
, a função pega o valor de , então o gráfico passa por (0,0). - Não há continuidade no ponto
, já que para valores negativos próximos a 0, , mas em , .
Resposta
- Domínio: Todos os números reais, ou seja,
ou . - Imagem: Todos os números reais não negativos, ou seja,
. - Gráfico: Consiste em uma linha horizontal a
para e a curva da raiz quadrada para .
