Ache o domínio, a imagem e desenhe o gráfico das funções abaixo.
f(x) = { 1, x < 0, raiz(x), x ≥ 0 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o domínio, a imagem e desenhar o gráfico da função dada. A função é uma função definida por partes, ou seja, ela tem comportamentos diferentes dependendo do valor de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significam domínio (todos os valores de para os quais a função está definida) e imagem (todos os valores que a função pode assumir). Além disso, vamos usar conceitos básicos de funções e gráficos.

Passo 2

Encontrando o Domínio
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Vamos analisar cada parte da função:
  1. Para : A função é constante e igual a 1. Não há restrição aqui, então qualquer número menor que zero é válido.
  2. Para : A função é . A raiz quadrada de só está definida para maior ou igual a zero, o que já está contemplado na condição.
Conclusão: O domínio da função é todos os números reais. Em termos matemáticos:
í

Passo 3

Encontrando a Imagem
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que pode assumir.
  1. Para : A função vale sempre 1. Então, 1 está na imagem.
  2. Para : A função é . A raiz quadrada de começa em 0 (quando ) e aumenta à medida que aumenta. Então, os valores de são todos os números reais não negativos.
Conclusão: A imagem da função inclui todos os números reais não negativos, já que 1 está incluído nesse intervalo. Em termos matemáticos:

Passo 4

Desenhando o Gráfico
Vamos esboçar o gráfico da função por partes:
  1. Para : A função é constante . Isso será representado por uma linha horizontal no nível , que se estende para a esquerda de . Como a função não está definida exatamente em para essa parte, usamos um círculo aberto em .
  2. Para : A função é . Isso é a típica curva da raiz quadrada, começando no ponto (0,0) e aumentando suavemente para a direita. Aqui, o ponto em é incluído, então usamos um círculo fechado.
Observações:
  • Em , a função pega o valor de , então o gráfico passa por (0,0).
  • Não há continuidade no ponto , já que para valores negativos próximos a 0, , mas em , .

Resposta

  • Domínio: Todos os números reais, ou seja, ou .
  • Imagem: Todos os números reais não negativos, ou seja, .
  • Gráfico: Consiste em uma linha horizontal a para e a curva da raiz quadrada para .
Gráfico da função

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