Ache o domínio, a imagem e desenhe o gráfico das funções abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes:
O que precisamos fazer é encontrar o domínio (todos os valores de que a função aceita), a imagem (todos os valores que a função pode assumir) e desenhar o gráfico dessa função. Para isso, vamos analisar cada parte da função separadamente.

Passo 2

Encontrando o Domínio:
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
  • Para , usamos . Aqui, qualquer número real menor que 0 é válido.
  • Para , usamos . Aqui, pode ser 0 até 1, inclusive.
  • Para , usamos . Aqui, qualquer número real maior que 1 é válido.
Juntando tudo, o domínio é todos os números reais, ou seja:
í

Passo 3

Encontrando a Imagem:
A imagem é o conjunto de todos os valores que pode assumir.
  • Para :
    • Quadrado de qualquer número real negativo é positivo ou zero.
    • Como , o menor valor de é próximo de 0, e cresce sem limite.
    • Portanto, .
  • Para :
    • Para , .
    • Para , .
    • Como a função cúbica é crescente nesse intervalo, varia de 0 a 1.
  • Para :
    • Para , .
    • À medida que aumenta, também aumenta sem limite.
    • Portanto, .
Juntando tudo:

Passo 4

Desenhando o Gráfico:
Vamos plotar cada parte da função:
  1. Para :
    • Isso é uma parábola virada para cima.
    • Vamos desenhar a parábola para todos os negativos.
  2. Para :
    • Essa é uma curva crescente passando pela origem.
    • No intervalo de 0 a 1, a curva vai de até .
  3. Para :
    • Essa é uma linha reta com inclinação 2 e intercepto em -1.
    • No ponto , , e a linha continua aumentando para a direita.
Pontos de Conexão:
  • Em , a parábola e a função cúbica se encontram em .
  • Em , a função cúbica e a reta se encontram em .
Gráfico Final:
Gráfico da função f(x)
(Imagine um gráfico com a parábola para , a curva cúbica de a , e a reta a partir de )

Resposta

  • Domínio: (todos os números reais)
  • Imagem:
  • Gráfico: Conforme descrito acima.

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Ache o domínio, a imagem e desenhe o gráfico das funções abaixo.
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Complete a tabela a seguir.
:
:
:
Diga se a função e par, ímpar ou nem par nem ímpar.