Ache o domínio, a imagem e desenhe o gráfico das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes:
O que precisamos fazer é encontrar o domínio (todos os valores de que a função aceita), a imagem (todos os valores que a função pode assumir) e desenhar o gráfico dessa função. Para isso, vamos analisar cada parte da função separadamente.
Passo 2
Encontrando o Domínio:
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
Para , usamos . Aqui, qualquer número real menor que 0 é válido.
Para , usamos . Aqui, pode ser 0 até 1, inclusive.
Para , usamos . Aqui, qualquer número real maior que 1 é válido.
Juntando tudo, o domínio é todos os números reais, ou seja:
í
Passo 3
Encontrando a Imagem:
A imagem é o conjunto de todos os valores que pode assumir.
Para :
Quadrado de qualquer número real negativo é positivo ou zero.
Como , o menor valor de é próximo de 0, e cresce sem limite.
Portanto, .
Para :
Para , .
Para , .
Como a função cúbica é crescente nesse intervalo, varia de 0 a 1.
Para :
Para , .
À medida que aumenta, também aumenta sem limite.
Portanto, .
Juntando tudo:
Passo 4
Desenhando o Gráfico:
Vamos plotar cada parte da função:
Para :
Isso é uma parábola virada para cima.
Vamos desenhar a parábola para todos os negativos.
Para :
Essa é uma curva crescente passando pela origem.
No intervalo de 0 a 1, a curva vai de até .
Para :
Essa é uma linha reta com inclinação 2 e intercepto em -1.
No ponto , , e a linha continua aumentando para a direita.
Pontos de Conexão:
Em , a parábola e a função cúbica se encontram em .
Em , a função cúbica e a reta se encontram em .
Gráfico Final:
(Imagine um gráfico com a parábola para , a curva cúbica de a , e a reta a partir de )