Ache o domínio, a imagem e desenhe o gráfico das funções abaixo.
Passo 1
Beleza! A gente tem que descobrir o domínio, a imagem e desenhar o gráfico da função
. Vamos precisar entender o que é uma função valor absoluto e como manipular ela para achar essas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
que a função pode aceitar. No caso de funções com valor absoluto, como a nossa, geralmente o domínio é todos os números reais porque você pode tirar o valor absoluto de qualquer número.
Passo 3
Então, para
, não tem nenhuma restrição que impeça
de ser qualquer número real. Portanto, o domínio é:
Passo 4
Agora vamos para a imagem. A imagem é o conjunto de todos os valores que
pode assumir. Vamos analisar a função:
O valor absoluto
é sempre positivo ou zero. Então, quando multiplicamos por -1, fica sempre negativo ou zero. Depois, acrescentamos 2. Então, o valor máximo de
ocorre quando
, ou seja, quando
.
Quando
:
E conforme
se afasta de 3,
aumenta, fazendo
diminuir. Então, a imagem vai até 2 e vai descendo sem limite, mas como estamos lidando com valor absoluto, há um limite inferior.
Na verdade, como o valor absoluto pode crescer indefinidamente,
pode ir até menos infinito. Portanto, a imagem é:
Passo 5
Por último, vamos desenhar o gráfico da função. Sabemos que a função
é uma transformação da função valor absoluto básica
.
Aqui está como construir o gráfico:
- O gráfico de
é um V com o ponto de virada na origem. - Substituindo
por , estamos refletindo o gráfico em relação ao eixo y e deslocando o ponto de virada para . - Multiplicando por -1, invertemos o V, fazendo com que abra para baixo.
- Finalmente, adicionando 2, levantamos todo o gráfico 2 unidades para cima.
Então, o gráfico é um V invertido com o vértice em
.
Resposta
- Domínio:
- Imagem:
- Gráfico: Um V invertido com vértice no ponto (3, 2)
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Encontre o domínio e a imagem das funções abaixo.
Determine a curvatura da curva
dada por
para
.
Ache o domínio, a imagem e desenhe o gráfico das funções abaixo.
Ache o domínio, a imagem e desenhe o gráfico das funções abaixo.