Ache o domínio, a imagem e desenhe o gráfico das funções abaixo.

Passo 1

Beleza! A gente tem que descobrir o domínio, a imagem e desenhar o gráfico da função . Vamos precisar entender o que é uma função valor absoluto e como manipular ela para achar essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de que a função pode aceitar. No caso de funções com valor absoluto, como a nossa, geralmente o domínio é todos os números reais porque você pode tirar o valor absoluto de qualquer número.

Passo 3

Então, para , não tem nenhuma restrição que impeça de ser qualquer número real. Portanto, o domínio é:
í

Passo 4

Agora vamos para a imagem. A imagem é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Vamos analisar a função:
O valor absoluto é sempre positivo ou zero. Então, quando multiplicamos por -1, fica sempre negativo ou zero. Depois, acrescentamos 2. Então, o valor máximo de ocorre quando , ou seja, quando .
Quando :
E conforme se afasta de 3, aumenta, fazendo diminuir. Então, a imagem vai até 2 e vai descendo sem limite, mas como estamos lidando com valor absoluto, há um limite inferior.
Na verdade, como o valor absoluto pode crescer indefinidamente, pode ir até menos infinito. Portanto, a imagem é:

Passo 5

Por último, vamos desenhar o gráfico da função. Sabemos que a função é uma transformação da função valor absoluto básica .
Aqui está como construir o gráfico:
  1. O gráfico de é um V com o ponto de virada na origem.
  2. Substituindo por , estamos refletindo o gráfico em relação ao eixo y e deslocando o ponto de virada para .
  3. Multiplicando por -1, invertemos o V, fazendo com que abra para baixo.
  4. Finalmente, adicionando 2, levantamos todo o gráfico 2 unidades para cima.
Então, o gráfico é um V invertido com o vértice em .

Resposta

  • Domínio:
  • Imagem:
  • Gráfico: Um V invertido com vértice no ponto (3, 2)

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Encontre o domínio e a imagem das funções abaixo.
Determine a curvatura da curva dada por
para .
Ache o domínio, a imagem e desenhe o gráfico das funções abaixo.
Ache o domínio, a imagem e desenhe o gráfico das funções abaixo.