Ache uma equação geral do plano pi que passa por A=(9,-1,0) e é paralelo aos vetores u=(0,1,0) e v=(1,1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada é encontrar a equação geral de um plano que passa pelo ponto e que é paralelo aos vetores e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar um vetor normal ao plano. Um vetor normal é perpendicular ao plano e é essencial para escrever a equação do plano. Como o plano é paralelo aos vetores n = u times v = ( uy vz - uz vy, ; uz vx - ux vz, ; ux vy - uy vx ) e n = ( 1 cdot 1 - 0 cdot 1, ; 0 cdot 1 - 0 cdot 1, ; 0 cdot 1 - 1 cdot 1 ) = (1, 0, -1) , podemos encontrar o vetor normal calculando o produto vetorial desses dois vetores.
O produto vetorial de e é dado por:
Aplicando os valores:
Então, o vetor normal é .

Passo 3

Com o vetor normal n cdot (X - A) = 0 e o ponto 1 cdot (x - 9) + 0 cdot (y + 1) + (-1) cdot (z - 0) = 0 , podemos escrever a equação ponto-normal do plano. A fórmula geral é:
x - 9 - z = 0
Onde é um ponto genérico no plano.
Expandindo:
Simplificando:

Resposta

A equação geral do plano é .

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