Determine uma equação geral do plano pi que passa pelo ponto A=(1,2,1) e é paralelo às retas
r:x-32=y-1=z1 e s:l x=5 y=2+3 lambda z=3-lambda

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a equação geral de um plano pi que passa pelo ponto A=(1,2,1) e que é paralelo às retas r e s. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores diretores e vetores normais de planos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os vetores diretores das retas r e s. O vetor diretor de uma reta é o vetor que indica a direção em que a reta está seguindo.
  • Para a reta r, que é dada por:
    x-32 = y-1 = z1
    O vetor diretor é vr = (2, -1, 1).
  • Para a reta s, que é dada pelo sistema paramétrico:
    x = 5 y = 2 + 3lambda z = 3 - lambda
    O vetor diretor é vs = (0, 3, -1), já que x é constante e não muda com lambda.

Passo 3

Como o plano pi é paralelo às retas r e s, os vetores diretores dessas retas estão contidos no plano. Para encontrar um vetor normal n ao plano, podemos calcular o produto vetorial desses dois vetores diretores:
n = vr times vs
Calculando o produto vetorial:
n = i & j & k 2 & -1 & 1 0 & 3 & -1 = i((-1)(-1) - (1)(3)) - j((2)(-1) - (1)(0)) + k((2)(3) - (-1)(0))
Simplificando:
n = i(1 - 3) - j(-2 - 0) + k(6 - 0) = i(-2) + j(2) + k(6)
Então, o vetor normal é n = (-2, 2, 6).

Passo 4

Agora que temos o vetor normal n = (-2, 2, 6) e o ponto A=(1,2,1) pelo qual o plano passa, podemos montar a equação geral do plano usando a fórmula:
n cdot (r - r0) = 0
Onde r = (x, y, z) e r0 = (1, 2, 1). Expandindo:
-2(x - 1) + 2(y - 2) + 6(z - 1) = 0
Simplificando a equação:
-2x + 2 + 2y - 4 + 6z - 6 = 0
-2x + 2y + 6z - 8 = 0

Resposta

A equação geral do plano pi é:
-2x + 2y + 6z - 8 = 0

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