Determine uma equação geral do plano que passa pelo ponto e é paralelo às retas
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a equação geral de um plano pi que passa pelo ponto A=(1,2,1) e que é paralelo às retas r e s. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores diretores e vetores normais de planos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os vetores diretores das retas r e s. O vetor diretor de uma reta é o vetor que indica a direção em que a reta está seguindo.
Para a reta r, que é dada por:
x-32 = y-1 = z1
O vetor diretor é vr = (2, -1, 1).
Para a reta s, que é dada pelo sistema paramétrico:
x = 5 y = 2 + 3lambda z = 3 - lambda
O vetor diretor é vs = (0, 3, -1), já que x é constante e não muda com lambda.
Passo 3
Como o plano pi é paralelo às retas r e s, os vetores diretores dessas retas estão contidos no plano. Para encontrar um vetor normal n ao plano, podemos calcular o produto vetorial desses dois vetores diretores:
n = vr times vs
Calculando o produto vetorial:
n = i & j & k 2 & -1 & 1 0 & 3 & -1 = i((-1)(-1) - (1)(3)) - j((2)(-1) - (1)(0)) + k((2)(3) - (-1)(0))