Determine a equação do hiperboloide de uma folha -x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2=1 que passa pelos pontos (2,2,-3),(3,4, raiz6) e (-3,2, raiz24).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação de um hiperboloide de uma folha, que tem a forma -x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2=1. Para isso, vamos usar os três pontos que a superfície passa: (2,2,-3), (3,4,raiz6) e (-3,2,raiz24). Nosso objetivo é encontrar os valores de a, b e c que satisfazem essa equação para todos esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para qualquer ponto (x, y, z) que está na superfície do hiperboloide, ele deve satisfazer a equação -x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2=1. Então, vamos substituir cada um dos três pontos nessa equação, o que nos dará três equações para resolver.

Passo 3

Vamos começar substituindo o primeiro ponto (2,2,-3) na equação:
-2^2a^2 + 2^2b^2 + (-3)^2c^2 = 1
Simplificando:
-4a^2 + 4b^2 + 9c^2 = 1 (Equação 1) çã

Passo 4

Agora, substituímos o segundo ponto (3,4,raiz6) na equação:
-3^2a^2 + 4^2b^2 + (raiz6)^2c^2 = 1
Simplificando:
-9a^2 + 16b^2 + 6c^2 = 1 (Equação 2) çã

Passo 5

Vamos fazer o mesmo com o terceiro ponto (-3,2,raiz24):
-(-3)^2a^2 + 2^2b^2 + (raiz24)^2c^2 = 1
Simplificando:
-9a^2 + 4b^2 + 24c^2 = 1 (Equação 3) çã

Passo 6

Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas ( 1a^2, 1b^2, 1c^2). Vamos chamar essas incógnitas de A, B e C respectivamente para facilitar:
-4A + 4B + 9C = 1 (Equação 1) çã
-9A + 16B + 6C = 1 (Equação 2) çã
-9A + 4B + 24C = 1 (Equação 3) çã

Passo 7

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, podemos subtrair a Equação 2 da Equação 3 para eliminar o termo -9A:
(-9A + 4B + 24C) - (-9A + 16B + 6C) = 1 - 1
0A -12B + 18C = 0
-12B + 18C = 0
-2B + 3C = 0 (Equação 4) çã

Passo 8

Agora, vamos usar a Equação 1 e a Equação 2 para eliminar uma das variáveis. Multiplicando a Equação 1 por 9 e a Equação 2 por 4:
-36A + 36B + 81C = 9 (Equação 1 muçã
-36A + 64B + 24C = 4 (Equação 2 muçã
Subtraindo essas duas:
(-36A + 36B + 81C) - (-36A + 64B + 24C) = 9 - 4
0A -28B + 57C = 5
-28B + 57C = 5 (Equação 5) çã

Passo 9

Agora, temos duas equações com duas incógnitas ( B e C):
-2B + 3C = 0 (Equação 4) çã
-28B + 57C = 5 (Equação 5) çã
Vamos resolver a Equação 4 para B:
-2B + 3C = 0 Rightarrow B = 3C2
Substituindo B na Equação 5:
-28(3C2) + 57C = 5
-42C + 57C = 5
15C = 5 Rightarrow C = 515 = 13

Passo 10

Agora que temos C = 13, podemos encontrar B usando a Equação 4:
B = 3C2 = 3 times 132 = 12
Agora, vamos encontrar A usando a Equação 1 original:
-4A + 4B + 9C = 1
-4A + 4(12) + 9(13) = 1
-4A + 2 + 3 = 1
-4A + 5 = 1 Rightarrow -4A = -4 Rightarrow A = 1

Passo 11

Lembrando que A = 1a^2, B = 1b^2 e C = 1c^2, temos:
1a^2 = 1 Rightarrow a^2 = 1 Rightarrow a = 1
1b^2 = 12 Rightarrow b^2 = 2 Rightarrow b = raiz2
1c^2 = 13 Rightarrow c^2 = 3 Rightarrow c = raiz3

Resposta

A equação do hiperboloide de uma folha que passa pelos pontos dados é:
-x^21 + y^22 + z^23 = 1
ou simplificando,
- x^2 + y^22 + z^23 = 1

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