Determine a equação do hiperboloide de uma folha que passa pelos pontos e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação de um hiperboloide de uma folha, que tem a forma . Para isso, vamos usar os três pontos que a superfície passa: , e . Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que satisfazem essa equação para todos esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para qualquer ponto que está na superfície do hiperboloide, ele deve satisfazer a equação . Então, vamos substituir cada um dos três pontos nessa equação, o que nos dará três equações para resolver.
Passo 3
Vamos começar substituindo o primeiro ponto na equação:
Simplificando:
Passo 4
Agora, substituímos o segundo ponto na equação:
Simplificando:
Passo 5
Vamos fazer o mesmo com o terceiro ponto :
Simplificando:
Passo 6
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas (, , ). Vamos chamar essas incógnitas de , e respectivamente para facilitar:
Passo 7
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, podemos subtrair a Equação 2 da Equação 3 para eliminar o termo :
Passo 8
Agora, vamos usar a Equação 1 e a Equação 2 para eliminar uma das variáveis. Multiplicando a Equação 1 por e a Equação 2 por :
Subtraindo essas duas:
Passo 9
Agora, temos duas equações com duas incógnitas ( e ):
Vamos resolver a Equação 4 para :
Substituindo na Equação 5:
Passo 10
Agora que temos , podemos encontrar usando a Equação 4:
Agora, vamos encontrar usando a Equação 1 original:
Passo 11
Lembrando que , e , temos:
Resposta
A equação do hiperboloide de uma folha que passa pelos pontos dados é: