Determine a equação do hiperboloide de uma folha que passa pelos pontos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação de um hiperboloide de uma folha, que tem a forma . Para isso, vamos usar os três pontos que a superfície passa: , e . Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que satisfazem essa equação para todos esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para qualquer ponto que está na superfície do hiperboloide, ele deve satisfazer a equação . Então, vamos substituir cada um dos três pontos nessa equação, o que nos dará três equações para resolver.

Passo 3

Vamos começar substituindo o primeiro ponto na equação:
Simplificando:
çã

Passo 4

Agora, substituímos o segundo ponto na equação:
Simplificando:
çã

Passo 5

Vamos fazer o mesmo com o terceiro ponto :
Simplificando:
çã

Passo 6

Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas ( , , ). Vamos chamar essas incógnitas de , e respectivamente para facilitar:
çã
çã
çã

Passo 7

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, podemos subtrair a Equação 2 da Equação 3 para eliminar o termo :
çã

Passo 8

Agora, vamos usar a Equação 1 e a Equação 2 para eliminar uma das variáveis. Multiplicando a Equação 1 por e a Equação 2 por :
çã
çã
Subtraindo essas duas:
çã

Passo 9

Agora, temos duas equações com duas incógnitas ( e ):
çã
çã
Vamos resolver a Equação 4 para :
Substituindo na Equação 5:

Passo 10

Agora que temos , podemos encontrar usando a Equação 4:
Agora, vamos encontrar usando a Equação 1 original:

Passo 11

Lembrando que , e , temos:

Resposta

A equação do hiperboloide de uma folha que passa pelos pontos dados é:
ou simplificando,

Exercícios relacionados

Ache uma equação geral do plano que passa por e é paralelo aos vetores e
A interseção de um hiperboloide de uma folha com o plano é uma hipérbole de equação . A interseção com o plano é uma elipse de equação . E o ponto pertence ao hiperboloide. Determine a sua equação.
Determine uma equação geral do plano que passa pelo ponto e é paralelo às retas
Determine os vértices e os focos da elipse que se obtém pela interseção de com o plano .