Determine a equação do hiperboloide de uma folha
que passa pelos pontos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação de um hiperboloide de uma folha, que tem a forma
. Para isso, vamos usar os três pontos que a superfície passa:
,
e
. Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
e
que satisfazem essa equação para todos esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para qualquer ponto
que está na superfície do hiperboloide, ele deve satisfazer a equação
. Então, vamos substituir cada um dos três pontos nessa equação, o que nos dará três equações para resolver.
Passo 3
Vamos começar substituindo o primeiro ponto
na equação:
Simplificando:
Passo 4
Agora, substituímos o segundo ponto
na equação:
Simplificando:
Passo 5
Vamos fazer o mesmo com o terceiro ponto
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas (
,
,
). Vamos chamar essas incógnitas de
,
e
respectivamente para facilitar:
Passo 7
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, podemos subtrair a Equação 2 da Equação 3 para eliminar o termo
:
Passo 8
Agora, vamos usar a Equação 1 e a Equação 2 para eliminar uma das variáveis. Multiplicando a Equação 1 por
e a Equação 2 por
:
Subtraindo essas duas:
Passo 9
Agora, temos duas equações com duas incógnitas (
e
):
Vamos resolver a Equação 4 para
:
Substituindo
na Equação 5:
Passo 10
Agora que temos
, podemos encontrar
usando a Equação 4:
Agora, vamos encontrar
usando a Equação 1 original:
Passo 11
Lembrando que
,
e
, temos:
Resposta
A equação do hiperboloide de uma folha que passa pelos pontos dados é:
ou simplificando,