Esboce as seguintes superfícies
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçar a superfície definida pela equação
. Isso está relacionado ao estudo das superfícies quadricas na matemática, que são formas geométricas no espaço tridimensional definidas por equações polinomiais de segundo grau. Para resolver isso, vamos precisar entender os diferentes tipos de superfícies quadricas e como identificar cada uma delas a partir de sua equação.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os sinais dos termos na equação. Temos
positivo e
e
negativos. Isso nos dá uma pista sobre o tipo da superfície. Em geral, quando temos uma equação com um termo positivo e dois negativos, estamos lidando com um hiperboloide de duas folhas.
Passo 3
Agora, vamos identificar os coeficientes das variáveis para entender melhor a forma da superfície. Os denominadores 16, 9 e 4 indicam os “a²”, “b²” e “c²” na equação padrão do hiperboloide de duas folhas:
. Portanto, temos:
Passo 4
Com esses valores, podemos determinar as interseções da superfície com os planos coordenados, o que ajuda a esboçar a forma:
- Interseção com o plano xy (
): . Isso é uma hipérbole no plano xy. - Interseção com o plano xz (
): . Outra hipérbole no plano xz. - Interseção com o plano yz (
): . Não há solução real, pois a soma de números negativos nunca é positiva. Isso indica que a superfície não intersecta o plano yz.
Passo 5
Sabendo que se trata de um hiperboloide de duas folhas, vamos lembrar que ele consiste em duas “folhas” simétricas em relação ao plano onde a interseção com o eixo principal ocorre. No nosso caso, o eixo principal é o eixo x, já que o termo x² é positivo. Assim, as duas folhas estarão direcionadas para os lados positivos e negativos do eixo x.
Passo 6
Finalmente, para esboçar a superfície:
- Desenhe os eixos coordenados x, y e z.
- Trace as hipérboles resultantes das interseções com os planos xy e xz.
- Desenhe duas “folhas” simétricas ao longo do eixo x, conectando as hipérboles nos seus ramos.
Resposta
A superfície representada pela equação
é um hiperboloide de duas folhas, com as folhas alinhadas ao longo do eixo x, interceptando os planos xy e xz em hipérboles específicas de acordo com os coeficientes fornecidos.