(a) Ache a equação do plano que passa pelos pontos P(1,2,3), Q(4,5,7) e R(1, 0, 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria no espaço! A questão pede para achar a equação de um plano que passa por três pontos: , e . Para isso, vamos precisar entender como determinar um plano no espaço 3D usando pontos dados.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar dois vetores que estão no plano. Podemos fazer isso pegando as diferenças entre as coordenadas dos pontos. Vamos calcular os vetores e :

Passo 3

Agora, para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano. Esse vetor normal pode ser encontrado usando o produto vetorial dos vetores e . Vamos calcular o produto vetorial :

Passo 4

Com o vetor normal e sabendo que o plano passa pelo ponto , podemos usar a fórmula da equação do plano:
Onde são as componentes do vetor normal e são as coordenadas de um ponto no plano.

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:

Resposta

A equação do plano é .

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