Encontre o domínio, represente o domínio no plano e encontre a imagem das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio da função
, representar esse domínio no plano e também descobrir qual é a imagem dessa função. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de duas variáveis e as condições para que as raízes quadradas sejam válidas.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está bem definida. Como temos raízes quadradas na função, os argumentos dessas raízes precisam ser maiores ou iguais a zero. Então, temos duas condições:
Passo 3
Agora, vamos juntar essas duas condições para encontrar o domínio completo:
- De
e , podemos dizer que .
Isso significa que para cada valor de
entre
e 1, a função estará definida.
Passo 4
Vamos representar esse domínio no plano
. No gráfico:
- A linha
é a diagonal onde �� igual a . - A linha horizontal
é uma reta paralela ao eixo que passa por .
O domínio é a região entre essas duas linhas, incluindo as próprias linhas, ou seja, todos os pontos onde
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a imagem da função
. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que a função pode assumir. Como
:
- Ambos os termos
e são não negativos porque são raiz quadrada. - O menor valor que
pode ter é 0, quando ambos os termos são 0. Isso ocorre quando e , ou seja, em . - À medida que
e aumentam, também aumenta sem limite específico dentro do domínio definido.
Então, a imagem de
é o conjunto de todos os números reais não negativos, ou seja,
.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pares
onde
. No plano
, esse domínio é representado pela região entre a linha
e a linha horizontal
. A imagem da função é o conjunto de todos os números reais não negativos, isto é,
.