Encontre o domínio, represente o domínio no plano e encontre a imagem das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio da função , representar esse domínio no plano e também descobrir qual é a imagem dessa função. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de duas variáveis e as condições para que as raízes quadradas sejam válidas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares para os quais a função está bem definida. Como temos raízes quadradas na função, os argumentos dessas raízes precisam ser maiores ou iguais a zero. Então, temos duas condições:

Passo 3

Agora, vamos juntar essas duas condições para encontrar o domínio completo:
  • De e , podemos dizer que .
Isso significa que para cada valor de entre e 1, a função estará definida.

Passo 4

Vamos representar esse domínio no plano . No gráfico:
  • A linha é a diagonal onde �� igual a .
  • A linha horizontal é uma reta paralela ao eixo que passa por .
O domínio é a região entre essas duas linhas, incluindo as próprias linhas, ou seja, todos os pontos onde .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a imagem da função . A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que a função pode assumir. Como :
  • Ambos os termos e são não negativos porque são raiz quadrada.
  • O menor valor que pode ter é 0, quando ambos os termos são 0. Isso ocorre quando e , ou seja, em .
  • À medida que e aumentam, também aumenta sem limite específico dentro do domínio definido.
Então, a imagem de é o conjunto de todos os números reais não negativos, ou seja, .

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pares onde . No plano , esse domínio é representado pela região entre a linha e a linha horizontal . A imagem da função é o conjunto de todos os números reais não negativos, isto é, .

Exercícios relacionados

(a) Ache a equação do plano que passa pelos pontos e .
(b) Ache a equação paramêtrica da curva da interseção da superficie com o plano
Determine , se houver, para que se tenha:
a) ;
Dada a função tal que
determine:
a) ;