Seja f(x) = x^3 - 9x^2 + 24x. Determine os pontos do gráfico de f nos quais a reta tangente é horizontal.

Passo 1

Então, a gente tem a função e queremos descobrir em quais pontos do gráfico dessa função a reta tangente é horizontal. Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente derivadas, porque a inclinação da reta tangente é dada pela derivada da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma reta é horizontal quando sua inclinação é zero. No contexto das funções, a inclinação da reta tangente a um ponto é dada pela derivada da função nesse ponto. Então, para encontrar onde a reta tangente é horizontal, precisamos encontrar onde a derivada de é igual a zero.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . A derivada de em relação a é . Aplicando isso:

Passo 4

Agora, queremos encontrar os valores de onde :
Vamos resolver essa equação quadrática. Primeiro, podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:

Passo 5

Para resolver a equação , vamos fatorar:
Assim, as soluções são:

Passo 6

Agora que temos os valores de , vamos encontrar os correspondentes valores de para obter os pontos no gráfico.
Para :
Para :

Resposta

Os pontos no gráfico de onde a reta tangente é horizontal são e .

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