Ache uma equação do plano que verifique as condições dadas:
(d) Passa pelo ponto e contém a reta .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente precisa achar a equação de um plano que passa pelo ponto e que contém a reta dada por . Para isso, vamos usar conceitos de vetores e equações de planos. Vamos precisar identificar vetores que estão no plano e depois encontrar um vetor normal a esse plano para montar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a reta que está no plano. A reta é dada por . Aqui, é um ponto que pertence à reta, e é o vetor diretor da reta, ou seja, indica a direção em que a reta se move.
Passo 3
Sabemos que o plano também passa pelo ponto . Então, temos dois pontos no plano: e . Vamos usar esses dois pontos para encontrar um vetor que está no plano. Esse vetor pode ser encontrado subtraindo as coordenadas dos pontos:
Então, é um vetor que está no plano.
Passo 4
Agora, temos dois vetores que estão no plano: o vetor diretor da reta e o vetor . Para encontrar um vetor normal ao plano, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores. O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular a ambos os vetores originais.
Calculando o produto vetorial:
Podemos simplificar esse vetor dividindo por 2:
Então, o vetor normal ao plano é .
Passo 5
Com o vetor normal e um ponto que está no plano, por exemplo, , podemos montar a equação do plano usando a forma:
Onde é um ponto qualquer no plano e é o ponto conhecido. Expandindo essa equação:
Distribuindo os termos:
Simplificando:
Podemos multiplicar toda a equação por para deixá-la mais agradável: