Qual das substituições abaixo transforma a integral integral tg^5(2 x) sec ^15(2 x) d x em uma integral da forma integral(alpha u^14+beta u^16+gamma u^18) d u, em que alpha, beta, gamma in R ?
(a) u=tg(2 x).
(b) u=tg(x).
© x=tg(2 u).
(d) x=tg(u).
(e) u=sec (2 x).
(f) u=sec (x).
(g) x=sec (2 u).
(h) x=sec (u).
Além disso, determine alpha, beta e gamma.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos a integral e precisamos encontrar qual das substituições dadas transforma essa integral em uma forma mais simples: , onde , e são números reais. Para resolver isso, vamos usar o método de substituição na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Olhando para as opções, uma boa escolha é . Essa substituição é conveniente porque a derivada de envolve , que já está presente na integral original.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de dudx = 2 sec(2x) tan(2x) em relação a dx = du2 sec(2x) tan(2x) :
Isso significa que:

Passo 4

Substituindo integral tan^5(2x) sec^15(2x) , dx = integral tan^5(2x) sec^15(2x) cdot du2 sec(2x) tan(2x) e = 12 integral tan^4(2x) sec^14(2x) , du na integral original, temos:
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, vamos expressar tan^4(2x) = (sec^2(2x) - 1)^2 = sec^4(2x) - 2sec^2(2x) + 1 em termos de 12 integral (sec^4(2x) - 2sec^2(2x) + 1) sec^14(2x) , du . Sabemos que = 12 integral (sec^18(2x) - 2sec^16(2x) + sec^14(2x)) , du , então:
Substituindo de volta na integral:

Passo 6

Como 12 integral (u^18 - 2u^16 + u^14) , du , substituímos alpha = 12, beta = -1, gamma = 12 por :
Agora, a integral está na forma desejada , onde:

Resposta

A substituição correta é (e) , com , e .

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