Ache as equações das retas tangente e normal à curva em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para acharmos as equações das retas tangente e normal à curva no ponto onde . Vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar a inclinação das retas tangente e normal nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de quando . Substituindo na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos achar a derivada de em relação a para determinar a inclinação da reta tangente no ponto .
A função é:
Usando a regra da cadeia para derivar, temos:

Passo 4

Vamos calcular a derivada no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

A reta normal é perpendicular à reta tangente. Sabemos que se a inclinação da tangente é , a inclinação da normal é . Então:

Passo 6

Agora, vamos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação, que é:
Para a reta tangente, substituindo e o ponto :
Distribuindo:

Passo 7

Para a reta normal, usando e o mesmo ponto:
Distribuindo:
Vamos simplificar os termos constantes:
Convertendo para denominador comum:
ã
Portanto, a equação simplificada da reta normal é:

Resposta

A equação da reta tangente à curva em é e a equação da reta normal é .

Exercícios relacionados

.
.
.