Ache as equações das retas tangente e normal à curva em .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para acharmos as equações das retas tangente e normal à curva no ponto onde . Vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar a inclinação das retas tangente e normal nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de quando . Substituindo na função:
Então, o ponto de tangência é .
Passo 3
Agora, precisamos achar a derivada de em relação a para determinar a inclinação da reta tangente no ponto .
A função é:
Usando a regra da cadeia para derivar, temos:
Passo 4
Vamos calcular a derivada no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é .
Passo 5
A reta normal é perpendicular à reta tangente. Sabemos que se a inclinação da tangente é , a inclinação da normal é . Então:
Passo 6
Agora, vamos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação, que é:
Para a reta tangente, substituindo e o ponto :
Distribuindo:
Passo 7
Para a reta normal, usando e o mesmo ponto:
Distribuindo:
Vamos simplificar os termos constantes:
Convertendo para denominador comum:
ã
Portanto, a equação simplificada da reta normal é:
Resposta
A equação da reta tangente à curva em é e a equação da reta normal é .