Ache as equações vetorial e paramétricas do plano que passa por e é paralelo aos vetores e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações vetorial e paramétricas de um plano que passa pelo ponto e é paralelo aos vetores e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente como descrever um plano no espaço usando vetores.
Passo 2
Primeiro, para encontrar a equação vetorial do plano, precisamos de um vetor normal ao plano. Esse vetor normal pode ser encontrado fazendo o produto vetorial entre os vetores e . O produto vetorial nos dá um vetor que é perpendicular a ambos os vetores originais.
Vamos calcular :
Passo 3
Com o vetor normal conhecido e o ponto pelo qual o plano passa, podemos escrever a equação vetorial do plano. A equação vetorial de um plano pode ser escrita como:
Onde é um ponto genérico no plano e é o ponto dado. Substituindo os valores:
Simplificando:
Então, a equação vetorial do plano é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as equações paramétricas do plano. As equações paramétricas descrevem qualquer ponto no plano em termos de parâmetros. Sabemos que o plano é paralelo aos vetores e , então podemos usar esses vetores como direções para os parâmetros.
A forma paramétrica é dada por:
Onde e são parâmetros reais. Substituindo os valores: