Ache as equações vetorial e paramétricas do plano que passa por A=(-3,-7,1) e é paralelo aos vetores u=(1,1,1) e v=(-1,1,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações vetorial e paramétricas de um plano que passa pelo ponto e é paralelo aos vetores e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente como descrever um plano no espaço usando vetores.

Passo 2

Primeiro, para encontrar a equação vetorial do plano, precisamos de um vetor normal ao plano. Esse vetor normal pode ser encontrado fazendo o produto vetorial entre os vetores n = i & j & k 1 & 1 & 1 -1 & 1 & 0 = i(1 cdot 0 - 1 cdot 1) - j(1 cdot 0 - (-1) cdot 1) + k(1 cdot 1 - (-1) cdot 1) e n = i(-1) - j(1) + k(2) = (-1, -1, 2) . O produto vetorial nos dá um vetor que é perpendicular a ambos os vetores originais.
Vamos calcular :

Passo 3

Com o vetor normal n cdot (r - r0) = 0 conhecido e o ponto (-1)(x + 3) + (-1)(y + 7) + 2(z - 1) = 0 pelo qual o plano passa, podemos escrever a equação vetorial do plano. A equação vetorial de um plano pode ser escrita como:
- x - 3 - y - 7 + 2z - 2 = 0 implies -x - y + 2z -12 = 0
Onde - x - y + 2z -12 = 0 é um ponto genérico no plano e é o ponto dado. Substituindo os valores:
Simplificando:
Então, a equação vetorial do plano é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as equações paramétricas do plano. As equações paramétricas descrevem qualquer ponto no plano em termos de parâmetros. Sabemos que o plano é paralelo aos vetores x = x0 + a cdot ux + b cdot vx y = y0 + a cdot uy + b cdot vy z = z0 + a cdot uz + b cdot vz e x = -3 + a cdot 1 + b cdot (-1) y = -7 + a cdot 1 + b cdot 1 z = 1 + a cdot 1 + b cdot 0 , então podemos usar esses vetores como direções para os parâmetros.
A forma paramétrica é dada por:
x = -3 + a - b y = -7 + a + b z = 1 + a
Onde e são parâmetros reais. Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

As equações do plano são:
Equação vetorial:
- x - y + 2z -12 = 0
Equações paramétricas:
x = -3 + a - b y = -7 + a + b z = 1 + a
onde e são parâmetros reais.

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