Ache as equações vetorial e paramétricas do plano que passa por e é paralelo aos vetores e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações vetorial e paramétricas de um plano que passa pelo ponto e é paralelo aos vetores e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente como descrever um plano no espaço usando vetores.
Passo 2
Primeiro, para encontrar a equação vetorial do plano, precisamos de um vetor normal ao plano. Esse vetor normal pode ser encontrado fazendo o produto vetorial entre os vetores e . O produto vetorial nos dá um vetor que é perpendicular a ambos os vetores originais.
Vamos calcular :
Passo 3
Com o vetor normal n cdot (r - r0) = 0 conhecido e o ponto (-1)(x + 3) + (-1)(y + 7) + 2(z - 1) = 0 pelo qual o plano passa, podemos escrever a equação vetorial do plano. A equação vetorial de um plano pode ser escrita como:
- x - 3 - y - 7 + 2z - 2 = 0 implies -x - y + 2z -12 = 0
Onde - x - y + 2z -12 = 0 é um ponto genérico no plano e é o ponto dado. Substituindo os valores:
Simplificando:
Então, a equação vetorial do plano é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as equações paramétricas do plano. As equações paramétricas descrevem qualquer ponto no plano em termos de parâmetros. Sabemos que o plano é paralelo aos vetores x = x0 + a cdot ux + b cdot vx y = y0 + a cdot uy + b cdot vy z = z0 + a cdot uz + b cdot vz e x = -3 + a cdot 1 + b cdot (-1) y = -7 + a cdot 1 + b cdot 1 z = 1 + a cdot 1 + b cdot 0 , então podemos usar esses vetores como direções para os parâmetros.
A forma paramétrica é dada por:
x = -3 + a - b y = -7 + a + b z = 1 + a
Onde e são parâmetros reais. Substituindo os valores: