A interseção de um hiperboloide de uma folha com o plano x=0 é uma elipse de equação y^24+z^22=1. E a interseção com o plano x=raiz6 é uma elipse de equação y^28+z^24=1, dê a sua equaçã̃o reduzida.

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado nos diz que a interseção de um hiperboloide de uma folha com dois planos diferentes resulta em duas elipses com equações específicas. Nosso objetivo é encontrar a equação reduzida desse hiperboloide. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre superfícies quádricas e interseções com planos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um hiperboloide de uma folha. Ele é uma superfície tridimensional que tem a propriedade de que suas interseções com planos paralelos a um dos eixos resultam em elipses. No nosso caso, as interseções com os planos x=0 e x=raiz6 são elipses, então o hiperboloide provavelmente é simétrico em relação ao eixo x.

Passo 3

Vamos assumir uma forma geral para a equação do hiperboloide de uma folha que é simétrica em relação ao eixo x. A equação pode ser escrita como:
y^2A + kx^2 + z^2B + mx^2 = 1
Aqui, A, B, k e m são constantes que precisamos determinar usando as informações dadas pelas elipses de interseção.

Passo 4

Primeiro, analisamos a interseção quando x=0. Substituindo x=0 na equação geral, temos:
y^2A + z^2B = 1
Comparando com a equação da elipse nesse plano, que é y^24 + z^22 = 1, identificamos que:
A = 4 e B = 2

Passo 5

Agora, analisamos a interseção quando x = raiz6. Substituindo x = raiz6 na equação geral, temos:
y^24 + k(raiz6)^2 + z^22 + m(raiz6)^2 = 1
Simplificando os termos:
y^24 + 6k + z^22 + 6m = 1
Essa interseção também nos dá uma elipse com a equação y^28 + z^24 = 1. Igualando os denominadores, temos:
4 + 6k = 8 Rightarrow 6k = 4 Rightarrow k = 23
2 + 6m = 4 Rightarrow 6m = 2 Rightarrow m = 13

Passo 6

Agora que encontramos os valores de k e m, podemos substituir esses valores na equação geral do hiperboloide:
y^24 + 23x^2 + z^22 + 13x^2 = 1

Resposta

A equação reduzida do hiperboloide de uma folha é:
y^24 + dfrac23x^2 + z^22 + dfrac13x^2 = 1

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