A interseção de um hiperboloide de uma folha com o plano é uma elipse de equação . E a interseção com o plano é uma elipse de equação , dê a sua equaçã̃o reduzida.

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado nos diz que a interseção de um hiperboloide de uma folha com dois planos diferentes resulta em duas elipses com equações específicas. Nosso objetivo é encontrar a equação reduzida desse hiperboloide. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre superfícies quádricas e interseções com planos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um hiperboloide de uma folha. Ele é uma superfície tridimensional que tem a propriedade de que suas interseções com planos paralelos a um dos eixos resultam em elipses. No nosso caso, as interseções com os planos e são elipses, então o hiperboloide provavelmente é simétrico em relação ao eixo .

Passo 3

Vamos assumir uma forma geral para a equação do hiperboloide de uma folha que é simétrica em relação ao eixo . A equação pode ser escrita como:
Aqui, , , e são constantes que precisamos determinar usando as informações dadas pelas elipses de interseção.

Passo 4

Primeiro, analisamos a interseção quando . Substituindo na equação geral, temos:
Comparando com a equação da elipse nesse plano, que é , identificamos que:

Passo 5

Agora, analisamos a interseção quando . Substituindo na equação geral, temos:
Simplificando os termos:
Essa interseção também nos dá uma elipse com a equação . Igualando os denominadores, temos:

Passo 6

Agora que encontramos os valores de e , podemos substituir esses valores na equação geral do hiperboloide:

Resposta

A equação reduzida do hiperboloide de uma folha é:

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