Ache a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções: f(x) = (1 + e^x)^(x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para achar a derivada da função . Vamos usar cálculo diferencial, mais especificamente derivação de funções compostas e logaritmos para facilitar a nossa vida.

Passo 2

Primeiro, vamos facilitar a derivação aplicando o logaritmo natural nos dois lados da função. Assim, temos:

Passo 3

Utilizando a propriedade dos logaritmos que diz , simplificamos:

Passo 4

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, usamos a regra da cadeia:

Passo 5

Por fim, isolamos multiplicando ambos os lados por f(x):

Resposta

A derivada da função é:

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