Ache a fórmula para o termo geral f(n) da sequência: {3/5, -4/25, 5/125, -6/625, 7/3125, ...}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a fórmula do termo geral da sequência: . Isso envolve entender padrões de sequências e como expressá-los matematicamente. Vamos precisar identificar como os numeradores e denominadores mudam conforme a posição dos termos e também como o sinal alterna.

Passo 2

Primeiro, vamos observar os numeradores da sequência: 3, -4, 5, -6, 7, …
Perceba que os valores absolutos dos numeradores estão aumentando de 1 em 1: 3, 4, 5, 6, 7, …
Isso sugere que o numerador do -ésimo termo pode ser expresso como , já que:
  • Para :
  • Para :
  • E assim por diante.

Passo 3

Agora, vamos olhar para os denominadores: 5, 25, 125, 625, 3125, …
Observamos que cada denominador é uma potência de 5:
Portanto, o denominador do -ésimo termo é .

Passo 4

Além disso, a sequência alterna os sinais: positivo, negativo, positivo, negativo, …
Isso indica que há um fator que alterna o sinal a cada termo. Podemos expressar isso usando :
  • Para : (positivo)
  • Para : (negativo)
  • E assim por diante.

Passo 5

Com todas essas observações, podemos montar a fórmula do termo geral :

Resposta

A fórmula do termo geral da sequência é:

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