Ache a integral indefinida:
(i)
(i)
Passo 1
Vamos resolver a integral indefinida
. Esse problema faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais com raízes de funções quadráticas. Para resolver essa integral, vamos precisar completar o quadrado na expressão dentro da raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o polinômio dentro da raiz para facilitar a integração. A expressão é
. Vamos reorganizar os termos:
Agora, vamos completar o quadrado para a expressão quadrática
. Fatorando o coeficiente de
:
Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de
, que é 2, e elevamos ao quadrado, obtendo 4. Adicionamos e subtraímos esse valor dentro dos parênteses:
Portanto, a expressão dentro da raiz fica:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a integral. Observamos que temos uma expressão da forma
, que sugere o uso da substituição:
Dessa forma, temos:
Substituindo na integral original:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Portanto, a integral fica:
Passo 4
Para integrar
, usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:
Integrando termo a termo:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos retornar à variável original
. Lembrando da sua substituição inicial:
Também precisamos expressar
em termos de
. Usando a identidade trigonométrica:
Sabemos que:
Portanto:
Substituindo tudo de volta na expressão integrada:
Simplificando:
Resposta
A integral indefinida é:
Exercícios relacionados
Defina as integrais iteradas para ambas as ordens de integração. Então, calcule a integral dupla usando a ordem mais fácil e explique por que ela é mais fácil.
Ache a integral indefinida:
(h)
(h)
Calcule, se possivel, pela definição e pelo teorema da divergência, o fluxo do campo vetorial
sobre a fronteira do sólido descrito por
e
, na direção do vetor unitário normal exterior.
Ache a integral indefinida:
(k)
(k)