Ache a integral indefinida:
(i) integral raiz5+4 x-x^2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida . Esse problema faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais com raízes de funções quadráticas. Para resolver essa integral, vamos precisar completar o quadrado na expressão dentro da raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o polinômio dentro da raiz para facilitar a integração. A expressão é - x^2 + 4x + 5 . Vamos reorganizar os termos:
- (x^2 - 4x) + 5
Agora, vamos completar o quadrado para a expressão quadrática - (x^2 - 4x + 4) + 5 + 4 = - (x - 2)^2 + 9 . Fatorando o coeficiente de raiz9 - (x - 2)^2 :
Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de , que é 2, e elevamos ao quadrado, obtendo 4. Adicionamos e subtraímos esse valor dentro dos parênteses:
Portanto, a expressão dentro da raiz fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a integral. Observamos que temos uma expressão da forma x - 2 = 3 sin theta , que sugere o uso da substituição:
dx = 3 cos theta , dtheta
Dessa forma, temos:
integral raiz9 - (3 sin theta)^2 cdot 3 cos theta , dtheta = integral raiz9 - 9 sin^2 theta cdot 3 cos theta , dtheta
Substituindo na integral original:
raiz9 (1 - sin^2 theta) = raiz9 cos^2 theta = 3 cos theta
Simplificando a expressão dentro da raiz:
integral 3 cos theta cdot 3 cos theta , dtheta = 9 integral cos^2 theta , dtheta
Portanto, a integral fica:

Passo 4

Para integrar cos^2 theta = 1 + cos 2theta2 , usamos a identidade trigonométrica:
9 integral 1 + cos 2theta2 , dtheta = 92 integral (1 + cos 2theta) , dtheta
Substituindo na integral:
92 ( theta + sin 2theta2 ) + C
Integrando termo a termo:
92 theta + 94 sin 2theta + C
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos retornar à variável original x - 2 = 3 sin theta implies sin theta = x - 23 implies theta = arcsin(x - 23) . Lembrando da sua substituição inicial:
sin 2theta = 2 sin theta cos theta
Também precisamos expressar cos theta = raiz1 - sin^2 theta = raiz1 - (x - 23)^2 = raiz9 - (x - 2)^23 em termos de sin 2theta = 2 cdot x - 23 cdot raiz9 - (x - 2)^23 = 2(x - 2)raiz9 - (x - 2)^29 . Usando a identidade trigonométrica:
92 arcsin(x - 23) + 94 cdot 2(x - 2)raiz9 - (x - 2)^29 + C
Sabemos que:
92 arcsin(x - 23) + (x - 2)raiz9 - (x - 2)^22 + C
Portanto:
Substituindo tudo de volta na expressão integrada:
Simplificando:

Resposta

A integral indefinida é:
integral raiz5 + 4x - x^2 , dx = 92 arcsin(x - 23) + (x - 2)raiz9 - (x - 2)^22 + C

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