Calcule, se possivel, pela definição e pelo teorema da divergência, o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = (x, y, z) sobre a fronteira do sólido descrito por B: x^2 + z^2 <= 1 e x^2 + y^2 + z^2 <= 4, na direção do vetor unitário normal exterior.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o fluxo de um campo vetorial sobre a fronteira de um sólido definido por e . Vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente o conceito de fluxo e o Teorema da Divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de “fluxo” que passa por essa superfície. Matematicamente, é calculado usando a integral de superfície:
onde é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Agora, vamos calcular o fluxo pela definição. Isso envolve parametrizar a superfície e calcular a integral. Porém, parametrizar pode ser complicado devido à forma do sólido que é a interseção de um cilindro e uma esfera.

Passo 4

Uma maneira mais fácil de resolver isso é utilizando o Teorema da Divergência, que nos permite converter a integral de superfície em uma integral de volume. O teorema diz:
Isso simplifica bastante o cálculo porque agora precisamos apenas calcular a divergência de e integrá-la sobre o volume .

Passo 5

Vamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é dada por:
No nosso caso, , então:

Passo 6

Agora, precisamos calcular a integral de volume:
Para encontrar o volume de , que é a interseção do cilindro e da esfera , podemos usar coordenadas cilíndricas. O volume será a integral:
Após calcular essa integral, obtemos o volume de .

Passo 7

Finalmente, multiplicamos o volume de por 3 para encontrar o fluxo:

Resposta

O fluxo do campo vetorial sobre a fronteira do sólido é igual a , onde é o volume da interseção do cilindro com a esfera .

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