Calcule, se possivel, pela definição e pelo teorema da divergência, o fluxo do campo vetorial
sobre a fronteira do sólido descrito por
e
, na direção do vetor unitário normal exterior.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o fluxo de um campo vetorial
sobre a fronteira de um sólido definido por
e
. Vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente o conceito de fluxo e o Teorema da Divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de “fluxo” que passa por essa superfície. Matematicamente, é calculado usando a integral de superfície:
onde
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fluxo pela definição. Isso envolve parametrizar a superfície
e calcular a integral. Porém, parametrizar pode ser complicado devido à forma do sólido
que é a interseção de um cilindro e uma esfera.
Passo 4
Uma maneira mais fácil de resolver isso é utilizando o Teorema da Divergência, que nos permite converter a integral de superfície em uma integral de volume. O teorema diz:
Isso simplifica bastante o cálculo porque agora precisamos apenas calcular a divergência de
e integrá-la sobre o volume
.
Passo 5
Vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso,
, então:
Passo 6
Agora, precisamos calcular a integral de volume:
Para encontrar o volume de
, que é a interseção do cilindro
e da esfera
, podemos usar coordenadas cilíndricas. O volume será a integral:
Após calcular essa integral, obtemos o volume de
.
Passo 7
Finalmente, multiplicamos o volume de
por 3 para encontrar o fluxo:
Resposta
O fluxo do campo vetorial
sobre a fronteira do sólido
é igual a
, onde
é o volume da interseção do cilindro
com a esfera
.
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(i)
(i)
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Ache a integral indefinida:
(k)
(k)
Encontre a soma das séries abaixo, se possível.
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