Ache a integral indefinida:
(h) integral raiz1+x^2x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Esse tipo de integral envolve funções racionais e radicais, e a gente vai precisar usar substituição trigonométrica ou hiperbólica para simplificar. Vamos seguir passo a passo para facilitar o entendimento.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observamos que temos raiz1+x^2x = 1x raiz1 + x^2 . Uma boa estratégia aqui é separar a fração:

Passo 3

Agora, para resolver essa integral, podemos usar uma substituição que nos ajude a lidar com a raiz quadrada. Vamos definir:
u = raiz1 + x^2
Então, precisamos encontrar u = (1 + x^2)^1/2 du = 12(1 + x^2)^-1/2 cdot 2x , dx du = xraiz1 + x^2 , dx em termos de :

Passo 4

Vamos reorganizar a expressão para encontrar du = xraiz1 + x^2 , dx dx = raiz1 + x^2x , du :
Mas observe que isso nos leva de volta à integral original, então essa substituição não simplifica diretamente. Vamos tentar outra abordagem: dividir a integral em duas partes.

Passo 5

Vamos reescrever a integral original:
integral raiz1 + x^2x , dx = integral 1x cdot raiz1 + x^2 , dx
Podemos reescrever como , mas isso complica ainda mais. Então, vamos tentar uma substituição diferente.

Passo 6

Vamos usar a substituição t = 1 + x^2 dt = 2x , dx dt2x = dx . Assim, temos:
integral raiztx cdot dt2x = 12 integral raiztx^2 , dt
Agora, substituímos na integral:
12 integral raiztt - 1 , dt
Mas como , , então:
Essa expressão ainda é complicada. Portanto, vamos tentar uma substituição hiperbólica.

Passo 7

Vamos usar substituição hiperbólica: raiz1 + x^2 = raiz1 + sinh^2(u) = cosh(u) dx = cosh(u) , du . Sabemos que:
integral cosh(u)sinh(u) cdot cosh(u) , du = integral cosh^2(u)sinh(u) , du
Substituindo na integral:

Passo 8

Vamos simplificar 1 + sinh^2(u)sinh(u) = 1sinh(u) + sinh(u) . Lembrando que integral 1sinh(u) , du + integral sinh(u) , du , temos:
integral sinh(u) , du = cosh(u) + C
Então, a integral fica:
integral 1sinh(u) , du = ln|tanh(u2)| + C
Sabemos que:
E:

Passo 9

Então, juntando as duas partes, temos:
cosh(u) + ln|tanh(u2)| + C
Agora, voltamos para u = sinh^-1(x) cosh(u) = raiz1 + x^2 tanh(u2) = sinh(u)1 + cosh(u) = x1 + raiz1 + x^2 :

Passo 10

Substituindo de volta, a solução fica:
raiz1 + x^2 + ln|x1 + raiz1 + x^2| + C

Resposta

A integral indefinida é:
raiz1 + x^2 + ln|x1 + raiz1 + x^2| + C

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