Ache a integral indefinida:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida
. Esse tipo de integral envolve funções racionais e radicais, e a gente vai precisar usar substituição trigonométrica ou hiperbólica para simplificar. Vamos seguir passo a passo para facilitar o entendimento.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observamos que temos
. Uma boa estratégia aqui é separar a fração:
Passo 3
Agora, para resolver essa integral, podemos usar uma substituição que nos ajude a lidar com a raiz quadrada. Vamos definir:
Então, precisamos encontrar
em termos de
:
Passo 4
Vamos reorganizar a expressão para encontrar
:
Mas observe que isso nos leva de volta à integral original, então essa substituição não simplifica diretamente. Vamos tentar outra abordagem: dividir a integral em duas partes.
Passo 5
Vamos reescrever a integral original:
Podemos reescrever
como
, mas isso complica ainda mais. Então, vamos tentar uma substituição diferente.
Passo 6
Vamos usar a substituição
. Assim, temos:
Agora, substituímos na integral:
Mas como
,
, então:
Essa expressão ainda é complicada. Portanto, vamos tentar uma substituição hiperbólica.
Passo 7
Vamos usar substituição hiperbólica:
. Sabemos que:
Substituindo na integral:
Passo 8
Vamos simplificar
. Lembrando que
, temos:
Então, a integral fica:
Sabemos que:
E:
Passo 9
Então, juntando as duas partes, temos:
Agora, voltamos para
:
Passo 10
Substituindo de volta, a solução fica:
Resposta
A integral indefinida é: