Defina as integrais iteradas para ambas as ordens de integração. Então, calcule a integral dupla usando a ordem mais fácil e explique por que ela é mais fácil.
integral duplaD y^2 e^x y d A , onde D é limitada por x=y, y=4 e x=0 é

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular uma integral dupla sobre uma região D, que é limitada por , e . A função que vamos integrar é . Vamos precisar entender um pouco de cálculo de integrais duplas e como definir os limites de integração em diferentes ordens. Vou te mostrar como fazer isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região D no plano cartesiano para entender melhor os limites de integração. Temos três curvas que delimitam D:
  1. : uma linha reta que passa pela origem com inclinação 45 graus.
  2. : uma linha horizontal que cruza o eixo y no ponto 4.
  3. : o eixo y.
Desenhando essas curvas, vemos que a região D é um triângulo com vértices em (0,0), (0,4) e (4,4).

Passo 3

Agora, vamos definir as integrais iteradas nas duas possíveis ordens de integração: integraly=0^4 integralx=0^y y^2 e^x y , dx , dy e integralx=0^4 integraly=x^4 y^2 e^x y , dy , dx .
Ordem :
  • Primeiro, fixamos y e vemos como x varia. Para cada y entre 0 e 4, x vai de 0 até .
  • Então, a integral fica:
Ordem :
  • Agora, fixamos x e vemos como y varia. Para cada x entre 0 e 4, y vai de x até 4.
  • Assim, a integral fica:

Passo 4

Vamos escolher a ordem de integração mais fácil para resolver a integral dupla. Nesse caso, integrar primeiro em relação a x parece mais simples, então vamos usar a ordem . Isso porque a integral em relação a x envolve uma expressão , que é mais direta de integrar com relação a x.

Passo 5

Vamos resolver a integral na ordem integraly=0^4 integralx=0^y y^2 e^x y , dx , dy :
integralx=0^y y^2 e^x y , dx
Primeiro, integramos em relação a x:
y^2 [ 1y e^x y ]0^y = y^2 ( 1y e^y cdot y - 1y e^0 ) = y^2 ( e^y^2 - 1y ) = y (e^y^2 - 1)
A integral de em relação a x é , então:

Passo 6

Agora, integramos o resultado em relação a y:
integral0^4 y (e^y^2 - 1) , dy = integral0^4 y e^y^2 , dy - integral0^4 y , dy
Vamos resolver cada parte separadamente.
Primeira parte:
integral y e^y^2 , dy
Fazemos a substituição 12 integral e^u , du = 12 e^u + C = 12 e^y^2 + C , então integral y , dy = 12 y^2 + C ou . Assim:
Segunda parte:

Passo 7

Juntando tudo, temos:
[ 12 e^y^2 ]0^4 - [ 12 y^2 ]0^4 = 12 (e^16 - 1) - 12 (16 - 0) = 12 e^16 - 12 - 8
Simplificando:
12 e^16 - 8.5

Resposta

A integral dupla vale . Usamos a ordem porque facilitou a integração, já que a parte com foi mais direta de integrar primeiro em relação a x.

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