Defina as integrais iteradas para ambas as ordens de integração. Então, calcule a integral dupla usando a ordem mais fácil e explique por que ela é mais fácil.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular uma integral dupla sobre uma região D, que é limitada por
,
e
. A função que vamos integrar é
. Vamos precisar entender um pouco de cálculo de integrais duplas e como definir os limites de integração em diferentes ordens. Vou te mostrar como fazer isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região D no plano cartesiano para entender melhor os limites de integração. Temos três curvas que delimitam D:
-
: uma linha reta que passa pela origem com inclinação 45 graus. -
: uma linha horizontal que cruza o eixo y no ponto 4. -
: o eixo y.
Desenhando essas curvas, vemos que a região D é um triângulo com vértices em (0,0), (0,4) e (4,4).
Passo 3
Agora, vamos definir as integrais iteradas nas duas possíveis ordens de integração:
e
.
Ordem
:
- Primeiro, fixamos y e vemos como x varia. Para cada y entre 0 e 4, x vai de 0 até
. - Então, a integral fica:
Ordem
:
- Agora, fixamos x e vemos como y varia. Para cada x entre 0 e 4, y vai de x até 4.
- Assim, a integral fica:
Passo 4
Vamos escolher a ordem de integração mais fácil para resolver a integral dupla. Nesse caso, integrar primeiro em relação a x parece mais simples, então vamos usar a ordem
. Isso porque a integral em relação a x envolve uma expressão
, que é mais direta de integrar com relação a x.
Passo 5
Vamos resolver a integral na ordem
:
Primeiro, integramos em relação a x:
A integral de
em relação a x é
, então:
Passo 6
Agora, integramos o resultado em relação a y:
Vamos resolver cada parte separadamente.
Primeira parte:
Fazemos a substituição
, então
ou
. Assim:
Segunda parte:
Passo 7
Juntando tudo, temos:
Simplificando:
Resposta
A integral dupla vale
. Usamos a ordem
porque facilitou a integração, já que a parte com
foi mais direta de integrar primeiro em relação a x.
Exercícios relacionados
Ache a integral indefinida:
(h)
(h)
Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(l) A série de potências é convergente no intervalo
e sua soma é igual a
.
(l) A série de potências
Ache a integral indefinida:
(i)
(i)
Calcule, se possivel, pela definição e pelo teorema da divergência, o fluxo do campo vetorial
sobre a fronteira do sólido descrito por
e
, na direção do vetor unitário normal exterior.