Ache a inversa da Matriz, caso exista,
A=[rrr 0 & 1 & -2 1 & 0 & 2 3 & 1 & 0 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a inversa da matriz , se ela existir. Estamos trabalhando com álgebra linear, mais especificamente com matrizes e suas inversas. Para resolver isso, precisaremos entender como calcular a inversa de uma matriz 3x3, o que envolve encontrar o determinante da matriz e a matriz adjunta.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a matriz A = 0 & 1 & -2 1 & 0 & 2 3 & 1 & 0 é inversível. Para isso, precisamos calcular o determinante de det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) . Se o determinante for diferente de zero, a matriz tem inversa.
A matriz A = a & b & c d & e & f g & h & i é:
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado da seguinte maneira:
Onde:

Passo 3

Aplicando os valores da matriz a = 0, b = 1, c = -2, d = 1, e = 0, f = 2, g = 3, h = 1, i = 0 :
ei - fh = (0)(0) - (2)(1) = 0 - 2 = -2
Calculando cada parte:
di - fg = (1)(0) - (2)(3) = 0 - 6 = -6
dh - eg = (1)(1) - (0)(3) = 1 - 0 = 1
det(A) = 0(-2) - 1(-6) + (-2)(1) = 0 + 6 - 2 = 4
Agora, substituindo na fórmula do determinante:

Passo 4

Como o determinante de A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) é 4, que é diferente de zero, sabemos que a matriz tem inversa. Agora, vamos calcular a inversa utilizando a fórmula:
Onde é a matriz adjunta de , que é a transposta da matriz dos cofatores de .

Passo 5

Primeiro, vamos encontrar a matriz dos cofatores de Cij = (-1)^i+j cdot Mij . Para cada elemento C11 = (-1)^1+1 cdot 0 & 2 1 & 0 = 1 cdot (0 cdot 0 - 2 cdot 1) = -2 de C12 = (-1)^1+2 cdot 1 & 2 3 & 0 = -1 cdot (1 cdot 0 - 2 cdot 3) = 6 , calculamos o cofator C13 = (-1)^1+3 cdot 1 & 0 3 & 1 = 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 3) = 1 :
C21 = (-1)^2+1 cdot 1 & -2 1 & 0 = -1 cdot (1 cdot 0 - (-2) cdot 1) = -2
Onde C22 = (-1)^2+2 cdot 0 & -2 3 & 0 = 1 cdot (0 cdot 0 - (-2) cdot 3) = 6 é o menor complementar, ou seja, o determinante da submatriz que resta ao eliminar a C23 = (-1)^2+3 cdot 0 & 1 3 & 1 = -1 cdot (0 cdot 1 - 1 cdot 3) = 3 -ésima linha e a C31 = (-1)^3+1 cdot 1 & -2 0 & 2 = 1 cdot (1 cdot 2 - (-2) cdot 0) = 2 -ésima coluna de C32 = (-1)^3+2 cdot 0 & -2 1 & 2 = -1 cdot (0 cdot 2 - (-2) cdot 1) = 2 .
Vamos calcular cada cofator:
C33 = (-1)^3+3 cdot 0 & 1 1 & 0 = 1 cdot (0 cdot 0 - 1 cdot 1) = -1

Passo 6

Agora, montamos a matriz dos cofatores:
Cof(A) = -2 & 6 & 1 -2 & 6 & 3 2 & 2 & -1
Em seguida, tiramos a transposta dessa matriz para obter a adjunta de adj(A) = Cof(A)^T = -2 & -2 & 2 6 & 6 & 2 1 & 3 & -1 :

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula da inversa:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) = 14 cdot -2 & -2 & 2 6 & 6 & 2 1 & 3 & -1
Multiplicando cada elemento da adjunta por A^-1 = -24 & -24 & 24 64 & 64 & 24 14 & 34 & -14 = -0.5 & -0.5 & 0.5 1.5 & 1.5 & 0.5 0.25 & 0.75 & -0.25 :

Resposta

A inversa da matriz A^-1 = -0.5 & -0.5 & 0.5 1.5 & 1.5 & 0.5 0.25 & 0.75 & -0.25 é:

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