Seja A B C um triângulo retângulo, em A, onde A(1,0,2), B(0,1,2) e C(2,1,0). Mostre que A B é ortogonal a A C, e calcule a projeçāo do cateto A B sobre a hipotenusa B C.

Passo 1

Vou resumir o enunciado: Temos um triângulo retângulo ABC com ângulo reto em A, onde os pontos têm coordenadas A(1,0,2), B(0,1,2) e C(2,1,0). Vamos mostrar que o vetor AB é ortogonal ao vetor AC e calcular a projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC.
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de vetores no espaço, produto escalar para verificar ortogonalidade e a fórmula de projeção de um vetor sobre outro.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores AB e AC.
O vetor AB é dado por:
AB = B - A = (0-1, 1-0, 2-2) = (-1, 1, 0)
E o vetor AC é dado por:
AC = C - A = (2-1, 1-0, 0-2) = (1, 1, -2)

Passo 3

Para mostrar que os vetores AB e AC são ortogonais, precisamos verificar se o produto escalar entre eles é zero.
O produto escalar de dois vetores u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) é:
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar AB cdot AC:
AB cdot AC = (-1)(1) + (1)(1) + (0)(-2) = -1 + 1 + 0 = 0
Como o produto escalar é zero, os vetores são ortogonais.

Passo 5

Agora, vamos calcular a projeção do vetor AB sobre a hipotenusa BC.
Primeiro, precisamos encontrar o vetor BC:
BC = C - B = (2-0, 1-1, 0-2) = (2, 0, -2)

Passo 6

A projeção do vetor u sobre o vetor v é dada por:
projv u = ( u cdot vv cdot v ) v
Vamos aplicar essa fórmula para u = AB e v = BC.

Passo 7

Primeiro, calculamos o produto escalar AB cdot BC:
AB cdot BC = (-1)(2) + (1)(0) + (0)(-2) = -2 + 0 + 0 = -2
Em seguida, calculamos BC cdot BC:
BC cdot BC = (2)^2 + (0)^2 + (-2)^2 = 4 + 0 + 4 = 8

Passo 8

Agora, aplicamos na fórmula da projeção:
projBC AB = ( -28 ) BC = -14 cdot (2, 0, -2) = ( -12, 0, 12 )

Resposta

A projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC é o vetor ( -dfrac12, 0, dfrac12 ).

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