Ache o limite.
7 lim (x, y) (0,0) 3 x^3-2 x^2 y+3 y^2 x-2 y^3x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de limite de funções de duas variáveis. A gente precisa calcular o limite quando se aproxima de da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente técnicas para encontrar limites em pontos onde duas variáveis estão envolvidas.

Passo 2

Primeiro, uma boa estratégia para lidar com limites de funções de duas variáveis é converter as coordenadas cartesianas para coordenadas polares . Isso porque, em coordenadas polares, a distância até a origem é representada por , e representa o ângulo. Assim, quando tende a zero, se aproxima de .

Passo 3

Vamos fazer a substituição:
x = r cos theta e y = r sin theta
Substituindo na função:
3 x^3-2 x^2 y+3 y^2 x-2 y^3x^2+y^2 = 3 (r cos theta)^3 - 2 (r cos theta)^2 (r sin theta) + 3 (r sin theta)^2 (r cos theta) - 2 (r sin theta)^3(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2
Simplificando cada termo:
= 3 r^3 cos^3 theta - 2 r^3 cos^2 theta sin theta + 3 r^3 sin^2 theta cos theta - 2 r^3 sin^3 thetar^2 (cos^2 theta + sin^2 theta)
Sabemos que = r^3 (3 cos^3 theta - 2 cos^2 theta sin theta + 3 sin^2 theta cos theta - 2 sin^3 theta)r^2 , então:
= r cdot (3 cos^3 theta - 2 cos^2 theta sin theta + 3 sin^2 theta cos theta - 2 sin^3 theta)
Cancelando do numerador e denominador:

Passo 4

Agora, ao fazer limr to 0 r cdot (expressão limitada) = 0 , o termo multiplica tudo dentro dos parênteses. Independentemente dos valores de , o que importa é que está se aproximando de zero. Portanto:
ã
Isso significa que o limite da função original quando se aproxima de é igual a zero.

Resposta

0

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