- Escreva uma equação que expresse o fato de que uma função
é contínua no número 4.
- Se
é contínua em
, o que você pode dizer sobre seu gráfico?
- (a) Do gráfico de
, identifique números nos quais
é descontínua e explique por quê.
(b) Para cada um dos números indicados na parte (a), determine se
é contínua à direita ou à esquerda, ou nenhum deles.
(b) Para cada um dos números indicados na parte (a), determine se
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me mandou um exercício sobre continuidade de funções. A continuidade é um conceito fundamental em cálculo que nos diz se o gráfico de uma função é “sem quebras” ou “sem saltos”. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto específico e em todo o seu domínio, além de saber identificar pontos de descontinuidade no gráfico de uma função.
Passo 2
1. Escreva uma equação que expresse o fato de que uma função
é contínua no número 4.
Para uma função
ser contínua no ponto
, precisamos que três condições sejam satisfeitas:
- A função
está definida em , ou seja, existe. - O limite de
quando se aproxima de 4 existe. - O limite de
quando se aproxima de 4 é igual ao valor da função em 4, ou seja, .
Então, a equação que representa a continuidade de
no número 4 é:
Passo 3
2. Se
é contínua em
, o que você pode dizer sobre seu gráfico?
Se a função
é contínua em todo o conjunto dos números reais,
, isso significa que não há nenhum ponto no seu gráfico onde haja uma quebra, salto ou descontinuidade. Em outras palavras, o gráfico de
pode ser desenhado sem levantar o lápis do papel. Isso indica que para qualquer valor de
, não importa o quão grande ou pequeno, a função
não apresenta interrupções.
Passo 4
3. (a) Do gráfico de
, identifique números nos quais
é descontínua e explique por quê.
Como não temos o gráfico específico da função
, vou te explicar como identificar pontos de descontinuidade em um gráfico. Geralmente, há três tipos principais de descontinuidades:
- Descontinuidade de salto: O gráfico “salta” de um valor para outro sem passar pelos valores intermediários.
- Descontinuidade removível: Há um “ponto faltando” no gráfico, mas não há salto.
- Descontinuidade infinita: O gráfico sobe ou desce para o infinito em um ponto.
Para identificar os números onde
é descontínua, você deve procurar esses tipos de comportamentos no gráfico da função. Cada vez que encontrar um desses padrões, o número correspondente ao
onde isso ocorre é um ponto de descontinuidade.
Passo 5
3. (b) Para cada um dos números indicados na parte (a), determine se
é contínua à direita ou à esquerda, ou nenhum deles.
Novamente, sem o gráfico específico, vou te mostrar como determinar isso:
- Continuidade à direita: O limite de
quando se aproxima do ponto pela direita (valores maiores que o ponto) existe e é igual ao valor da função naquele ponto. - Continuidade à esquerda: O limite de
quando se aproxima do ponto pela esquerda (valores menores que o ponto) existe e é igual ao valor da função naquele ponto.
Então, para cada ponto de descontinuidade identificado na parte (a):
- Verifique se o limite pela direita existe e é igual a
naquele ponto. Se sim, é contínua à direita. - Verifique se o limite pela esquerda existe e é igual a
naquele ponto. Se sim, é contínua à esquerda. - Se nenhum dos limites coincidir com
, então a função não é contínua nem à direita nem à esquerda nesse ponto.
Resposta
Resumindo:
- A equação que expressa que
é contínua em 4 é . - Se
é contínua em , seu gráfico não possui quebras ou saltos e pode ser desenhado sem levantar o lápis. - (a) Para identificar pontos de descontinuidade no gráfico de
, procure por saltos, pontos faltantes ou comportamentos infinitos.
(b) Em cada ponto de descontinuidade, determine se o limite pela direita ou pela esquerda coincide compara saber se a função é contínua à direita, à esquerda ou nenhuma das duas.
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(b) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal.
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58.
57.
58.
Ache o limite.