1. Escreva uma equação que expresse o fato de que uma função é contínua no número 4.
  2. Se é contínua em , o que você pode dizer sobre seu gráfico?
  3. (a) Do gráfico de , identifique números nos quais é descontínua e explique por quê.
    (b) Para cada um dos números indicados na parte (a), determine se é contínua à direita ou à esquerda, ou nenhum deles.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me mandou um exercício sobre continuidade de funções. A continuidade é um conceito fundamental em cálculo que nos diz se o gráfico de uma função é “sem quebras” ou “sem saltos”. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto específico e em todo o seu domínio, além de saber identificar pontos de descontinuidade no gráfico de uma função.

Passo 2

1. Escreva uma equação que expresse o fato de que uma função é contínua no número 4.
Para uma função ser contínua no ponto , precisamos que três condições sejam satisfeitas:
  1. A função está definida em , ou seja, existe.
  2. O limite de quando se aproxima de 4 existe.
  3. O limite de quando se aproxima de 4 é igual ao valor da função em 4, ou seja, .
Então, a equação que representa a continuidade de no número 4 é:

Passo 3

2. Se é contínua em , o que você pode dizer sobre seu gráfico?
Se a função é contínua em todo o conjunto dos números reais, , isso significa que não há nenhum ponto no seu gráfico onde haja uma quebra, salto ou descontinuidade. Em outras palavras, o gráfico de pode ser desenhado sem levantar o lápis do papel. Isso indica que para qualquer valor de , não importa o quão grande ou pequeno, a função não apresenta interrupções.

Passo 4

3. (a) Do gráfico de , identifique números nos quais é descontínua e explique por quê.
Como não temos o gráfico específico da função , vou te explicar como identificar pontos de descontinuidade em um gráfico. Geralmente, há três tipos principais de descontinuidades:
  1. Descontinuidade de salto: O gráfico “salta” de um valor para outro sem passar pelos valores intermediários.
  2. Descontinuidade removível: Há um “ponto faltando” no gráfico, mas não há salto.
  3. Descontinuidade infinita: O gráfico sobe ou desce para o infinito em um ponto.
Para identificar os números onde é descontínua, você deve procurar esses tipos de comportamentos no gráfico da função. Cada vez que encontrar um desses padrões, o número correspondente ao onde isso ocorre é um ponto de descontinuidade.

Passo 5

3. (b) Para cada um dos números indicados na parte (a), determine se é contínua à direita ou à esquerda, ou nenhum deles.
Novamente, sem o gráfico específico, vou te mostrar como determinar isso:
  • Continuidade à direita: O limite de quando se aproxima do ponto pela direita (valores maiores que o ponto) existe e é igual ao valor da função naquele ponto.
  • Continuidade à esquerda: O limite de quando se aproxima do ponto pela esquerda (valores menores que o ponto) existe e é igual ao valor da função naquele ponto.
Então, para cada ponto de descontinuidade identificado na parte (a):
  1. Verifique se o limite pela direita existe e é igual a naquele ponto. Se sim, é contínua à direita.
  2. Verifique se o limite pela esquerda existe e é igual a naquele ponto. Se sim, é contínua à esquerda.
  3. Se nenhum dos limites coincidir com , então a função não é contínua nem à direita nem à esquerda nesse ponto.

Resposta

Resumindo:
  1. A equação que expressa que é contínua em 4 é .
  2. Se é contínua em , seu gráfico não possui quebras ou saltos e pode ser desenhado sem levantar o lápis.
  3. (a) Para identificar pontos de descontinuidade no gráfico de , procure por saltos, pontos faltantes ou comportamentos infinitos.
    (b) Em cada ponto de descontinuidade, determine se o limite pela direita ou pela esquerda coincide com para saber se a função é contínua à direita, à esquerda ou nenhuma das duas.

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(b) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal.
57.
58.
Ache o limite.