Mostre que o limite näo existe.
11 lim (x, y) (0,0) 2 x^2-y^2x^2+2 y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que o limite da função quando se aproxima de não existe. Isso está no conteúdo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos analisar o comportamento dessa função por diferentes caminhos que se aproximam de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando a gente tem uma função de duas variáveis, pra ver se o limite existe, a gente precisa garantir que o limite seja o mesmo independente do caminho que a gente escolhe pra se aproximar do ponto. Se a gente encontrar dois caminhos que dão limites diferentes, então o limite geral não existe.

Passo 3

Vamos começar analisando o caminho onde 2x^2 - (0)^2x^2 + 2(0)^2 = 2x^2x^2 = 2 . Nesse caso, substituindo na função:
Então, ao se aproximar de pelo eixo ( ), o limite é 2.

Passo 4

Agora, vamos analisar outro caminho, por exemplo, onde 2x^2 - x^2x^2 + 2x^2 = x^23x^2 = 13 . Substituindo na função:
Assim, ao se aproximar de pela linha , o limite é .

Passo 5

Como vimos, ao se aproximar de caminhos diferentes, obtemos limites diferentes: 2 pelo eixo e pela linha . Isso significa que o limite geral não pode existir, já que não há um único valor que a função se aproxima em todos os caminhos.

Resposta

O limite não existe.

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