Mostre que o limite näo existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que o limite da função
quando
se aproxima de
não existe. Isso está no conteúdo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos analisar o comportamento dessa função por diferentes caminhos que se aproximam de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando a gente tem uma função de duas variáveis, pra ver se o limite existe, a gente precisa garantir que o limite seja o mesmo independente do caminho que a gente escolhe pra se aproximar do ponto. Se a gente encontrar dois caminhos que dão limites diferentes, então o limite geral não existe.
Passo 3
Vamos começar analisando o caminho onde
. Nesse caso, substituindo na função:
Então, ao se aproximar de
pelo eixo
(
), o limite é 2.
Passo 4
Agora, vamos analisar outro caminho, por exemplo, onde
. Substituindo na função:
Assim, ao se aproximar de
pela linha
, o limite é
.
Passo 5
Como vimos, ao se aproximar de caminhos diferentes, obtemos limites diferentes: 2 pelo eixo
e
pela linha
. Isso significa que o limite geral não pode existir, já que não há um único valor que a função se aproxima em todos os caminhos.
Resposta
O limite não existe.
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Descreva o conjunto dos pontos do plano xy em que
é contínua.
Mostre que o limite näo existe.