Ache a linearização de
em
e use essa expressão para aproximar 3.9 e 4.1.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a linearização da função
no ponto
e, com essa expressão, aproximar os valores de
e
. Para isso, vamos usar o conceito de linearização, que é uma forma de aproximar funções por retas próximas a um ponto específico usando derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a linearização. A linearização de uma função
em torno de um ponto
é a equação da reta tangente à função nesse ponto. Essa reta pode ser usada para aproximar os valores de
próximos a
.
A fórmula da linearização
de
em
é:
Aqui,
é a derivada de
avaliada em
.
Passo 3
Vamos calcular
onde
:
Então,
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a derivada de
. Vamos derivar:
Portanto, a derivada de
é
.
Passo 5
Vamos calcular
:
Então,
.
Passo 6
Agora, substituímos
e
na fórmula da linearização:
Simplificando:
Passo 7
Vamos simplificar ainda mais a expressão da linearização:
Então, a linearização é
.
Passo 8
Agora, vamos usar a linearização para aproximar
e
.
Primeiro, para
:
Então,
.
Passo 9
Agora, para
:
Então,
.
Resposta
A linearização de
em
é
. Usando essa expressão, temos: