Ache a linearização de em e use essa expressão para aproximar 3.9 e 4.1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a linearização da função no ponto e, com essa expressão, aproximar os valores de e . Para isso, vamos usar o conceito de linearização, que é uma forma de aproximar funções por retas próximas a um ponto específico usando derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a linearização. A linearização de uma função em torno de um ponto é a equação da reta tangente à função nesse ponto. Essa reta pode ser usada para aproximar os valores de próximos a .
A fórmula da linearização de em é:
Aqui, é a derivada de avaliada em .

Passo 3

Vamos calcular onde :
Então, .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada de . Vamos derivar:
Portanto, a derivada de é .

Passo 5

Vamos calcular :
Então, .

Passo 6

Agora, substituímos e na fórmula da linearização:
Simplificando:

Passo 7

Vamos simplificar ainda mais a expressão da linearização:
Então, a linearização é .

Passo 8

Agora, vamos usar a linearização para aproximar e .
Primeiro, para :
Então, .

Passo 9

Agora, para :
Então, .

Resposta

A linearização de em é . Usando essa expressão, temos:

Exercícios relacionados

Determine para as funções abaixo:
a)



b)

Verifique que para a função .
Determine as derivadas direcionais das funções:
a) na direção do vetor .
b) na direção do vetor .
c) na direção que forma um ângulo de medida com o eixo .
Considere a função:
a) Para , calcule e .
b) Qual é o valor de e ?
c) Mostre que .
d) Verifique que para .
e) Encontre para
f) Conclua que e . Por que isso não contradiz o teorema de Clairaut?