Determine partial fpartial s para as funções abaixo:
a) f(x, y, z)=x^2+x y+z^2
x=r+s
y=r-s
z=r
b) f(x, y)=e^x cos y
x=s t
y=raizs^2+t^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada parcial de em relação a para duas funções diferentes. Vamos precisar usar cálculo diferencial, especialmente a regra da cadeia, já que depende de outras variáveis que, por sua vez, dependem de . Vamos começar com a parte a).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções envolvidas na parte a):
f(x, y, z) = x^2 + x y + z^2
Onde:
x = r + s
y = r - s
z = r

Passo 3

Queremos encontrar partial fpartial s = partial fpartial x cdot partial xpartial s + partial fpartial y cdot partial ypartial s + partial fpartial z cdot partial zpartial s . Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas. A regra da cadeia para derivadas parciais diz que:

Passo 4

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias:
  1. partialpartial x(x^2 + x y + z^2) = 2x + y :
partialpartial y(x^2 + x y + z^2) = x
  1. partialpartial z(x^2 + x y + z^2) = 2z :
  1. :

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas de partialpartial s(r + s) = 1 , partialpartial s(r - s) = -1 e partialpartial s(r) = 0 em relação a :
  1. :
  1. :
  1. :
(Porque não depende de )

Passo 6

Agora, substituímos todas essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:
partial fpartial s = (2x + y)(1) + (x)(-1) + (2z)(0)
Simplificando:
partial fpartial s = 2x + y - x
partial fpartial s = x + y

Passo 7

Vamos agora substituir x + y = (r + s) + (r - s) = 2r e pelas suas expressões em termos de e :

Resposta

A derivada parcial de partial fpartial s = 2r em relação a na parte a) é:

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