Determine para as funções abaixo:
a)



b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada parcial de em relação a para duas funções diferentes. Vamos precisar usar cálculo diferencial, especialmente a regra da cadeia, já que depende de outras variáveis que, por sua vez, dependem de . Vamos começar com a parte a).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções envolvidas na parte a):
Onde:

Passo 3

Queremos encontrar . Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas. A regra da cadeia para derivadas parciais diz que:

Passo 4

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias:
  1. :
  1. :
  1. :

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas de , e em relação a :
  1. :
  1. :
  1. :
(Porque não depende de )

Passo 6

Agora, substituímos todas essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 7

Vamos agora substituir e pelas suas expressões em termos de e :

Resposta

A derivada parcial de em relação a na parte a) é:

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Verifique que para a função .
Encontre a soma de cada uma das séries a seguir.
Ache a linearização de em e use essa expressão para aproximar 3.9 e 4.1.
Determine as derivadas direcionais das funções:
a) na direção do vetor .
b) na direção do vetor .
c) na direção que forma um ângulo de medida com o eixo .