Determine
para as funções abaixo:
a)
b)
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada parcial de
em relação a
para duas funções diferentes. Vamos precisar usar cálculo diferencial, especialmente a regra da cadeia, já que
depende de outras variáveis que, por sua vez, dependem de
. Vamos começar com a parte a).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções envolvidas na parte a):
Onde:
Passo 3
Queremos encontrar
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas. A regra da cadeia para derivadas parciais diz que:
Passo 4
Vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias:
-
:
-
:
-
:
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas de
,
e
em relação a
:
-
:
-
:
-
:
(Porque
não depende de
)
Passo 6
Agora, substituímos todas essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 7
Vamos agora substituir
e
pelas suas expressões em termos de
e
:
Resposta
A derivada parcial de
em relação a
na parte a) é:
Exercícios relacionados
Verifique que
para a função
.
Encontre a soma de cada uma das séries a seguir.
Ache a linearização de
em
e use essa expressão para aproximar 3.9 e 4.1.
Determine as derivadas direcionais das funções:
a) na direção do vetor
.
b) na direção do vetor
.
c) na direção que forma um ângulo de medida
com o eixo
.
a)
b)
c)