Verifique que
para a função
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para verificarmos que as derivadas parciais mistas de segunda ordem de uma função são iguais, ou seja,
. A função dada é
. Para resolver isso, vamos precisar calcular primeiro a derivada parcial de
em relação a
e depois derivar esse resultado em relação a
, e fazer o mesmo na ordem inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que chamaremos de
. Para isso, tratamos
como uma constante e diferenciamos em relação a
.
A função é:
Aplicando a regra do produto:
Calculando cada parte:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
.
Temos:
Aplicando a regra do produto novamente:
Calculando cada parte:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que chamaremos de
. Para isso, tratamos
como uma constante e diferenciamos em relação a
.
A função é:
Aplicando a regra do produto:
Calculando cada parte:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
.
Temos:
Aplicando a regra do produto novamente:
Calculando cada parte:
Portanto:
Resposta
As derivadas parciais mistas são iguais: