Verifique que
para a função
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para verificarmos que as derivadas parciais mistas de segunda ordem de uma função são iguais, ou seja,
. A função dada é
. Para resolver isso, vamos precisar calcular primeiro a derivada parcial de
em relação a
e depois derivar esse resultado em relação a
, e fazer o mesmo na ordem inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que chamaremos de
. Para isso, tratamos
como uma constante e diferenciamos em relação a
.
A função é:
Aplicando a regra do produto:
Calculando cada parte:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
.
Temos:
Aplicando a regra do produto novamente:
Calculando cada parte:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que chamaremos de
. Para isso, tratamos
como uma constante e diferenciamos em relação a
.
A função é:
Aplicando a regra do produto:
Calculando cada parte:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
.
Temos:
Aplicando a regra do produto novamente:
Calculando cada parte:
Portanto:
Resposta
As derivadas parciais mistas são iguais:
Exercícios relacionados
Encontre a soma de cada uma das séries a seguir.
Seja
. Mostre que a série
converge para todos os valores de
, mas que a série de derivadas
diverge quando
um inteiro. Para quais valores de
a série
converge?
Determine
para as funções abaixo:
a)
b)
a)
b)
Ache a linearização de
em
e use essa expressão para aproximar 3.9 e 4.1.