Verifique que fxy = fyx para a função f(x, y) = x * y * e^(x * y).

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para verificarmos que as derivadas parciais mistas de segunda ordem de uma função são iguais, ou seja, . A função dada é . Para resolver isso, vamos precisar calcular primeiro a derivada parcial de em relação a e depois derivar esse resultado em relação a , e fazer o mesmo na ordem inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que chamaremos de . Para isso, tratamos como uma constante e diferenciamos em relação a .
A função é:
Aplicando a regra do produto:
Calculando cada parte:
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é .
Temos:
Aplicando a regra do produto novamente:
Calculando cada parte:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que chamaremos de . Para isso, tratamos como uma constante e diferenciamos em relação a .
A função é:
Aplicando a regra do produto:
Calculando cada parte:
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é .
Temos:
Aplicando a regra do produto novamente:
Calculando cada parte:
Portanto:

Resposta

As derivadas parciais mistas são iguais:

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