Verifique que para a função .

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para verificarmos que as derivadas parciais mistas de segunda ordem de uma função são iguais, ou seja, . A função dada é . Para resolver isso, vamos precisar calcular primeiro a derivada parcial de em relação a e depois derivar esse resultado em relação a , e fazer o mesmo na ordem inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que chamaremos de . Para isso, tratamos como uma constante e diferenciamos em relação a .
A função é:
Aplicando a regra do produto:
Calculando cada parte:
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é .
Temos:
Aplicando a regra do produto novamente:
Calculando cada parte:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que chamaremos de . Para isso, tratamos como uma constante e diferenciamos em relação a .
A função é:
Aplicando a regra do produto:
Calculando cada parte:
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é .
Temos:
Aplicando a regra do produto novamente:
Calculando cada parte:
Portanto:

Resposta

As derivadas parciais mistas são iguais:

Exercícios relacionados

Encontre a soma de cada uma das séries a seguir.
Seja . Mostre que a série converge para todos os valores de , mas que a série de derivadas diverge quando um inteiro. Para quais valores de a série converge?
Determine para as funções abaixo:
a)



b)

Ache a linearização de em e use essa expressão para aproximar 3.9 e 4.1.