Considere a função:
a) Para , calcule e .
b) Qual é o valor de e ?
c) Mostre que .
d) Verifique que para .
e) Encontre para
f) Conclua que e . Por que isso não contradiz o teorema de Clairaut?

Passo 1

Vamos dar uma olhada rápida no que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais dessa função em diferentes pontos e verificar algumas propriedades relacionadas a essas derivadas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente derivadas parciais e propriedades das funções definidas por partes.

Passo 2

Parte a) Para , vamos calcular as derivadas parciais e .
Primeiro, vamos achar , que é a derivada de em relação a . Usaremos a regra do quociente para derivar:
Derivando em relação a :
Simplificando:
Após simplificar mais, obtemos:
De forma similar, vamos calcular :
Simplificando:
E simplificando mais:

Passo 3

Parte b) Vamos encontrar e .
Para , substituímos na função:
Então, .
Para , substituímos na função:
Portanto, .

Passo 4

Parte c) Vamos mostrar que .
Primeiro, para encontrar , usamos a definição de derivada parcial:
Sabemos que e , então:
Analogamente, para :
Portanto, ambas as derivadas parciais em são iguais a zero.

Passo 5

Parte d) Verificar que para .
Vamos calcular usando a definição de derivada parcial em :
Sabemos que , então:
Quando :
Então, para .

Passo 6

Parte e) Encontrar para .
Vamos calcular usando a definição de derivada parcial em :
Sabemos que , então:
Quando :
Portanto, para .

Passo 7

Parte f) Concluir que e . Por que isso não contradiz o teorema de Clairaut?
Primeiro, vamos calcular :
Usamos a definição de derivada parcial:
Sabemos que e , então:
Agora, vamos calcular :
Sabemos que e , então:
Agora, sobre o Teorema de Clairaut: Ele afirma que se as derivadas parciais mistas e são contínuas em um ponto, então elas são iguais nesse ponto. No nosso caso, as derivadas mistas em não são iguais ( ). Porém, isso não contradiz o teorema porque as derivadas parciais mistas não são contínuas em . Portanto, o Teorema de Clairaut não se aplica aqui.

Resposta

Conseguimos calcular as derivadas parciais de para diferentes casos, mostrando que e . Como as derivadas mistas não são contínuas em , o Teorema de Clairaut não é violado, já que suas condições de aplicabilidade não são atendidas.

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