Considere a função:
a) Para
, calcule
e
.
b) Qual é o valor de
e
?
c) Mostre que
.
d) Verifique que
para
.
e) Encontre
para
f) Conclua que
e
. Por que isso não contradiz o teorema de Clairaut?
b) Qual é o valor de
c) Mostre que
d) Verifique que
e) Encontre
f) Conclua que
Passo 1
Vamos dar uma olhada rápida no que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais dessa função em diferentes pontos e verificar algumas propriedades relacionadas a essas derivadas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente derivadas parciais e propriedades das funções definidas por partes.
Passo 2
Parte a) Para
, vamos calcular as derivadas parciais
e
.
Primeiro, vamos achar
, que é a derivada de
em relação a
. Usaremos a regra do quociente para derivar:
Derivando em relação a
:
Simplificando:
Após simplificar mais, obtemos:
De forma similar, vamos calcular
:
Simplificando:
E simplificando mais:
Passo 3
Parte b) Vamos encontrar
e
.
Para
, substituímos
na função:
Então,
.
Para
, substituímos
na função:
Portanto,
.
Passo 4
Parte c) Vamos mostrar que
.
Primeiro, para encontrar
, usamos a definição de derivada parcial:
Sabemos que
e
, então:
Analogamente, para
:
Portanto, ambas as derivadas parciais em
são iguais a zero.
Passo 5
Parte d) Verificar que
para
.
Vamos calcular
usando a definição de derivada parcial em
:
Sabemos que
, então:
Quando
:
Então,
para
.
Passo 6
Parte e) Encontrar
para
.
Vamos calcular
usando a definição de derivada parcial em
:
Sabemos que
, então:
Quando
:
Portanto,
para
.
Passo 7
Parte f) Concluir que
e
. Por que isso não contradiz o teorema de Clairaut?
Primeiro, vamos calcular
:
Usamos a definição de derivada parcial:
Sabemos que
e
, então:
Agora, vamos calcular
:
Sabemos que
e
, então:
Agora, sobre o Teorema de Clairaut: Ele afirma que se as derivadas parciais mistas
e
são contínuas em um ponto, então elas são iguais nesse ponto. No nosso caso, as derivadas mistas em
não são iguais (
). Porém, isso não contradiz o teorema porque as derivadas parciais mistas não são contínuas em
. Portanto, o Teorema de Clairaut não se aplica aqui.
Resposta
Conseguimos calcular as derivadas parciais de
para diferentes casos, mostrando que
e
. Como as derivadas mistas não são contínuas em
, o Teorema de Clairaut não é violado, já que suas condições de aplicabilidade não são atendidas.
Exercícios relacionados
Determine as derivadas direcionais das funções:
a) na direção do vetor
.
b) na direção do vetor
.
c) na direção que forma um ângulo de medida
com o eixo
.
a)
b)
c)
Ache a linearização de
em
e use essa expressão para aproximar 3.9 e 4.1.
Mostre que
sen
é solução da equação do calor:
. O que acontece com
quando
? Interprete isso sabendo que
representa a temperatura na posição
de uma barra e no instante
.
Mostre as propriedades do gradiente enunciadas em aula.