Considere a função:
f(x, y)=l x y(x^2-y^2)x^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)
a) Para (x, y) neq(0,0), calcule fx e fy.
b) Qual é o valor de f(x, 0) e f(0, y) ?
c) Mostre que fx(0,0)=fy(0,0)=0.
d) Verifique que fx(0, y)=-y para y neq 0.
e) Encontre fy(x, 0)=x para x neq 0
f) Conclua que fx y(0,0)=-1 e fy x(0,0)=1. Por que isso não contradiz o teorema de Clairaut?

Passo 1

Vamos dar uma olhada rápida no que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
f(x, y)=l x y(x^2-y^2)x^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)
Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais dessa função em diferentes pontos e verificar algumas propriedades relacionadas a essas derivadas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente derivadas parciais e propriedades das funções definidas por partes.

Passo 2

Parte a) Para (x, y) neq (0,0), vamos calcular as derivadas parciais fx e fy.
Primeiro, vamos achar fx, que é a derivada de f em relação a x. Usaremos a regra do quociente para derivar:
f(x, y) = x y (x^2 - y^2)x^2 + y^2
Derivando em relação a x:
fx = (y(x^2 - y^2) + x y cdot 2x)(x^2 + y^2) - x y (x^2 - y^2) cdot 2x(x^2 + y^2)^2
Simplificando:
fx = y(x^2 - y^2)(x^2 + y^2) + 2x^2 y (x^2 + y^2) - 2x^2 y (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)^2
Após simplificar mais, obtemos:
fx = y(3x^4 + y^4)(x^2 + y^2)^2
De forma similar, vamos calcular fy:
fy = x(x^2 - y^2)(x^2 + y^2) - x y cdot 2y (x^2 + y^2) - x y (x^2 - y^2) cdot 2y(x^2 + y^2)^2
Simplificando:
fy = x(x^4 - y^4) - 4x y^2 (x^2 + y^2)(x^2 + y^2)^2
E simplificando mais:
fy = x(x^4 - 3y^4)(x^2 + y^2)^2

Passo 3

Parte b) Vamos encontrar f(x, 0) e f(0, y).
Para f(x, 0), substituímos y = 0 na função:
f(x, 0) = x cdot 0 cdot (x^2 - 0^2)x^2 + 0^2 = 0
Então, f(x, 0) = 0.
Para f(0, y), substituímos x = 0 na função:
f(0, y) = 0 cdot y cdot (0^2 - y^2)0^2 + y^2 = 0
Portanto, f(0, y) = 0.

Passo 4

Parte c) Vamos mostrar que fx(0,0) = fy(0,0) = 0.
Primeiro, para encontrar fx(0,0), usamos a definição de derivada parcial:
fx(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h
Sabemos que f(h, 0) = 0 e f(0,0) = 0, então:
fx(0,0) = limh to 0 0 - 0h = 0
Analogamente, para fy(0,0):
fy(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k = limk to 0 0 - 0k = 0
Portanto, ambas as derivadas parciais em (0,0) são iguais a zero.

Passo 5

Parte d) Verificar que fx(0, y) = -y para y neq 0.
Vamos calcular fx(0, y) usando a definição de derivada parcial em x:
fx(0, y) = limh to 0 f(h, y) - f(0, y)h
Sabemos que f(0, y) = 0, então:
fx(0, y) = limh to 0 h y (h^2 - y^2)h^2 + y^2 - 0h = limh to 0 y (h^2 - y^2)h^2 + y^2
Quando h to 0:
fx(0, y) = y (0 - y^2)0 + y^2 = -y
Então, fx(0, y) = -y para y neq 0.

Passo 6

Parte e) Encontrar fy(x, 0) = x para x neq 0.
Vamos calcular fy(x, 0) usando a definição de derivada parcial em y:
fy(x, 0) = limk to 0 f(x, k) - f(x, 0)k
Sabemos que f(x, 0) = 0, então:
fy(x, 0) = limk to 0 x k (x^2 - k^2)x^2 + k^2 - 0k = limk to 0 x (x^2 - k^2)x^2 + k^2
Quando k to 0:
fy(x, 0) = x (x^2 - 0)x^2 + 0 = x
Portanto, fy(x, 0) = x para x neq 0.

Passo 7

Parte f) Concluir que fxy(0,0) = -1 e fyx(0,0) = 1. Por que isso não contradiz o teorema de Clairaut?
Primeiro, vamos calcular fxy(0,0):
Usamos a definição de derivada parcial:
fxy(0,0) = limh to 0 fx(0, h) - fx(0,0)h
Sabemos que fx(0,0) = 0 e fx(0, h) = -h, então:
fxy(0,0) = limh to 0 -h - 0h = -1
Agora, vamos calcular fyx(0,0):
fyx(0,0) = limk to 0 fy(k, 0) - fy(0,0)k
Sabemos que fy(0,0) = 0 e fy(k, 0) = k, então:
fyx(0,0) = limk to 0 k - 0k = 1
Agora, sobre o Teorema de Clairaut: Ele afirma que se as derivadas parciais mistas fxy e fyx são contínuas em um ponto, então elas são iguais nesse ponto. No nosso caso, as derivadas mistas em (0,0) não são iguais ( -1 neq 1). Porém, isso não contradiz o teorema porque as derivadas parciais mistas não são contínuas em (0,0). Portanto, o Teorema de Clairaut não se aplica aqui.

Resposta

Conseguimos calcular as derivadas parciais de f(x, y) para diferentes casos, mostrando que fxy(0,0) = -1 e fyx(0,0) = 1. Como as derivadas mistas não são contínuas em (0,0), o Teorema de Clairaut não é violado, já que suas condições de aplicabilidade não são atendidas.

Exercícios relacionados