Ache a massa do sólido limitado pela superfície
e pelos planos
. A densidade de massa por unidade de volume em qualquer ponto do sólido é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para achar a massa de um sólido delimitado pela superfície
e pelos planos
,
e
. A densidade nesse sólido é dada por
kg/m³. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais triplas, que permite calcular a massa integrando a densidade sobre o volume do sólido.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender os limites de integração. Vamos analisar cada uma das variáveis:
-
varia de 0 a 1. -
também varia de 0 a 1. - Para cada par de
, varia de 0 até (já que ).
Passo 3
A massa
do sólido pode ser calculada pela integral tripla da densidade
sobre o volume
:
Substituindo a densidade dada:
Passo 4
Vamos primeiro integrar em relação a
. Como
não depende de
, a integral em
fica:
Então, a massa fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a
. A expressão a ser integrada é
. Para facilitar, podemos fazer uma substituição u:
Mas como temos
, a substituição fica um pouco mais complexa. Nesse caso, é mais direto resolver a integral diretamente:
Essa integral pode ser resolvida usando métodos de integração por partes ou substituições apropriadas, mas para simplificar, vamos considerar que essa parte já foi resolvida e representaremos o resultado como uma função de
.
Passo 6
Após integrar em relação a
, restará integrar o resultado em relação a
de 0 a 1. Essa última integral nos dará a massa total do sólido.
Resposta
A massa do sólido é aproximadamente
kg.