Calcule a integral tripla utilizando mudança de variáveis.
(e) , onde
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular uma integral tripla usando mudança de variáveis. A integral é:
onde a região é definida por:
Para resolver isso, vamos usar a técnica de mudança de variáveis, que vai nos ajudar a simplificar a região de integração e a própria integral.
Passo 2
Vamos fazer uma troca de variáveis para simplificar a região . Definimos:
Com essas novas variáveis, nossa integral fica em termos de , e .
Passo 3
Agora, precisamos calcular o determinante jacobiano dessa mudança de variáveis, que é essencial para ajustar a integral após a troca de coordenadas. O jacobiano é dado por:
Calculando as derivadas parciais, encontramos que .
Passo 4
Com as novas variáveis e o jacobiano, substituímos na integral:
integralu=0^1 integralv=1^2 integralw=0^1 e^uv cdot 12 , dw , dv , du
Resposta
Integrando passo a passo, temos:
12 integral0^1 e^u , du cdot integral1^2 1v , dv cdot integral0^1 dw = 12 (e - 1) cdot ln(2) cdot 1 = (e - 1) ln 22