Calcule a integral tripla utilizando mudança de variáveis.
(e) integral triplaE e^x-y+zx+y-z d V, onde E=(x, y, z) mid 0 <= x-y+z <= 1,1 <= x+y-z <= 2,0 <= z <= 1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular uma integral tripla usando mudança de variáveis. A integral é:
integral triplaE e^x - y + zx + y - z , dV,
onde a região 0 <= x - y + z <= 1, 1 <= x + y - z <= 2, 0 <= z <= 1 é definida por:
Para resolver isso, vamos usar a técnica de mudança de variáveis, que vai nos ajudar a simplificar a região de integração e a própria integral.

Passo 2

Vamos fazer uma troca de variáveis para simplificar a região u = x - y + z, . Definimos:
v = x + y - z,
w = z
Com essas novas variáveis, nossa integral fica em termos de , e .

Passo 3

Agora, precisamos calcular o determinante jacobiano dessa mudança de variáveis, que é essencial para ajustar a integral após a troca de coordenadas. O jacobiano J = partial xpartial u & partial xpartial v & partial xpartial w partial ypartial u & partial ypartial v & partial ypartial w partial zpartial u & partial zpartial v & partial zpartial w é dado por:
Calculando as derivadas parciais, encontramos que .

Passo 4

Com as novas variáveis e o jacobiano, substituímos na integral:
integralu=0^1 integralv=1^2 integralw=0^1 e^uv cdot 12 , dw , dv , du

Resposta

Integrando passo a passo, temos:
12 integral0^1 e^u , du cdot integral1^2 1v , dv cdot integral0^1 dw = 12 (e - 1) cdot ln(2) cdot 1 = (e - 1) ln 22

Exercícios relacionados