Calcule a integral dupla utilizando mudança de variáveis.
(a) integral duplaD(x^2+y^2) d A, onde D=(x, y) mid 1 <= x^2+y^2 <= 4.

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral dupla , onde é a região definida por . Isso significa que estamos trabalhando com uma área que está entre dois círculos: um de raio 1 e outro de raio 2. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que facilitam bastante quando lidamos com círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter as coordenadas cartesianas x = r cos(theta) para polares y = r sin(theta) . As relações são:
dA = r , dr , dtheta
E, na integral, o elemento de área em coordenadas polares é dado por:
Além disso, na função que estamos integrando, se transforma em .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral em coordenadas polares. A região integral duplaD (x^2 + y^2) , dA = integral0^2pi integral1^2 r^2 cdot r , dr , dtheta se traduz para integral0^2pi integral1^2 r^3 , dr , dtheta variando de 1 a 2 (pois ) e variando de 0 a para cobrir todo o círculo. Assim, a integral fica:
Simplificando, temos:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral1^2 r^3 , dr :
r^44 |1^2 = 2^44 - 1^44 = 164 - 14 = 4 - 0,25 = 3,75
A antiderivada de é . Avaliando entre 1 e 2:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^2pi 3,75 , dtheta
Como 3,75 é constante em relação a 3,75 times integral0^2pi dtheta = 3,75 times (2pi - 0) = 7,5pi , a integral se simplifica para:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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