Calcule a integral dupla utilizando mudança de variáveis.
(a) , onde .
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral dupla , onde é a região definida por . Isso significa que estamos trabalhando com uma área que está entre dois círculos: um de raio 1 e outro de raio 2. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que facilitam bastante quando lidamos com círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter as coordenadas cartesianas para polares . As relações são:
E, na integral, o elemento de área em coordenadas polares é dado por:
Além disso, na função que estamos integrando, se transforma em .
Passo 3
Agora, vamos reescrever a integral em coordenadas polares. A região se traduz para variando de 1 a 2 (pois ) e variando de 0 a para cobrir todo o círculo. Assim, a integral fica:
Simplificando, temos:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
A antiderivada de é . Avaliando entre 1 e 2:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^2pi 3,75 , dtheta
Como 3,75 é constante em relação a 3,75 times integral0^2pi dtheta = 3,75 times (2pi - 0) = 7,5pi , a integral se simplifica para: