Calcule a integral iterada.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral iterada juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla:
Aqui, estamos lidando com integrais duplas, onde primeiro integramos em relação a
e depois em relação a
. Para resolver isso, vamos integrar passo a passo, explicando cada parte para ficar bem claro.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a
:
Para resolver essa integral, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos chamar:
Agora, vamos ajustar os limites da integral para a nova variável
:
- Quando
, - Quando
,
Substituindo na integral:
Passo 3
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Aplicando os limites de integração:
Portanto, a integral interna simplifica para:
Passo 4
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:
Passo 5
Vamos resolver a primeira integral:
Aplicando os limites de integração:
Passo 6
Agora, vamos resolver a segunda integral:
Para isso, usamos a integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes (
):
Aplicando os limites de integração:
Sabemos que:
Substituindo:
Passo 7
Agora, juntamos os resultados das duas integrais:
Para simplificar, podemos deixar assim ou escrever em termos comuns:
Resposta
A integral iterada vale: