Calcule a integral iterada.
(b) integralpi2^pi integral0^y^2 sen(xy) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral iterada juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla:
integralpi2^pi integral0^y^2 sin(xy) , dx , dy
Aqui, estamos lidando com integrais duplas, onde primeiro integramos em relação a e depois em relação a . Para resolver isso, vamos integrar passo a passo, explicando cada parte para ficar bem claro.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a integral0^y^2 sin(xy) , dx :
u = xy Rightarrow du = dxy Rightarrow dx = y , du
Para resolver essa integral, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos chamar:
integral0^y^2 sin(xy) , dx = integral0^y sin(u) cdot y , du = y integral0^y sin(u) , du
Agora, vamos ajustar os limites da integral para a nova variável :
  • Quando ,
  • Quando ,
Substituindo na integral:

Passo 3

Agora, vamos integrar integral sin(u) , du = -cos(u) + C em relação a y [ -cos(u) ]0^y = y ( -cos(y) + cos(0) ) = y ( -cos(y) + 1 ) = y (1 - cos(y)) :
y (1 - cos(y))
Aplicando os limites de integração:
Portanto, a integral interna simplifica para:

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integralpi2^pi y (1 - cos(y)) , dy
Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:
integralpi2^pi y , dy - integralpi2^pi y cos(y) , dy

Passo 5

Vamos resolver a primeira integral:
integral y , dy = y^22 + C
Aplicando os limites de integração:
[ y^22 ]pi2^pi = pi^22 - (pi2)^22 = pi^22 - pi^28 = 4pi^2 - pi^28 = 3pi^28

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda integral:
integral y cos(y) , dy
Para isso, usamos a integração por partes, onde:
u = y Rightarrow du = dy
dv = cos(y) , dy Rightarrow v = sin(y)
Aplicando a fórmula de integração por partes ( y sin(y) - integral sin(y) , dy = y sin(y) + cos(y) + C ):
[ y sin(y) + cos(y) ]pi2^pi = ( pi sin(pi) + cos(pi) ) - ( pi2 sin(pi2) + cos(pi2) )
Aplicando os limites de integração:
sin(pi) = 0, cos(pi) = -1, sin(pi2) = 1, cos(pi2) = 0
Sabemos que:
(0 - 1) - ( pi2 cdot 1 + 0 ) = -1 - pi2
Substituindo:

Passo 7

Agora, juntamos os resultados das duas integrais:
3pi^28 - ( -1 - pi2 ) = 3pi^28 + 1 + pi2
Para simplificar, podemos deixar assim ou escrever em termos comuns:
3pi^28 + pi2 + 1

Resposta

A integral iterada vale:
3pi^28 + pi2 + 1

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