Ache o máximo e mínimo absolutos das funções f abaixo na região fechada e limitada D indicada:
(21.2) f(x, y, z) = x * y * z ; D = {(x, y, z) | x^2 + y^2 + z^2 <= 1}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar os valores máximos e mínimos da função dentro da região fechada , que é a esfera unitária definida por . Para isso, vamos usar técnicas de otimização em várias variáveis, como os multiplicadores de Lagrange, e analisar tanto os pontos internos quanto os da fronteira da região.

Passo 2

Primeiro, vamos procurar os pontos críticos da função dentro da região . Isso significa encontrar onde o gradiente de é zero. O gradiente de é dado por:
Então, precisamos resolver o sistema:
Isso acontece quando pelo menos duas das variáveis são zero.

Passo 3

Analisando as soluções do sistema acima:
  1. Se e , então pode ser qualquer valor tal que .
  2. Se e , então pode ser qualquer valor tal que .
  3. Se e , então pode ser qualquer valor tal que .
Nesses casos, a função será zero, já que pelo menos um dos termos é zero.

Passo 4

Agora, vamos investigar os pontos na fronteira da região , ou seja, quando . Para isso, usamos os multiplicadores de Lagrange. Definimos a função:
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:

Passo 5

Resolvendo o sistema acima, observamos que não podem ser zero simultaneamente (pois ). Dividindo as primeiras três equações por respectivamente, obtemos:
Isso implica que . Portanto, os pontos críticos na fronteira são:
e seus opostos.

Passo 6

Calculando o valor de nesses pontos:
De forma semelhante, nos outros pontos críticos da fronteira, os valores de serão .

Passo 7

Agora, juntando tudo:
  • Nos pontos internos, .
  • Nos pontos da fronteira, atinge os valores máximos e mínimos absolutos de e respectivamente.

Resposta

O máximo absoluto de na região é e o mínimo absoluto é .

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