Ache o máximo e mínimo absolutos das funções
abaixo na região fechada e limitada
indicada:
(21.2)
(21.2)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar os valores máximos e mínimos da função
dentro da região fechada
, que é a esfera unitária definida por
. Para isso, vamos usar técnicas de otimização em várias variáveis, como os multiplicadores de Lagrange, e analisar tanto os pontos internos quanto os da fronteira da região.
Passo 2
Primeiro, vamos procurar os pontos críticos da função dentro da região
. Isso significa encontrar onde o gradiente de
é zero. O gradiente de
é dado por:
Então, precisamos resolver o sistema:
Isso acontece quando pelo menos duas das variáveis
são zero.
Passo 3
Analisando as soluções do sistema acima:
- Se
e , então pode ser qualquer valor tal que . - Se
e , então pode ser qualquer valor tal que . - Se
e , então pode ser qualquer valor tal que .
Nesses casos, a função
será zero, já que pelo menos um dos termos é zero.
Passo 4
Agora, vamos investigar os pontos na fronteira da região
, ou seja, quando
. Para isso, usamos os multiplicadores de Lagrange. Definimos a função:
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Passo 5
Resolvendo o sistema acima, observamos que
não podem ser zero simultaneamente (pois
). Dividindo as primeiras três equações por
respectivamente, obtemos:
Isso implica que
. Portanto, os pontos críticos na fronteira são:
e seus opostos.
Passo 6
Calculando o valor de
nesses pontos:
De forma semelhante, nos outros pontos críticos da fronteira, os valores de
serão
.
Passo 7
Agora, juntando tudo:
- Nos pontos internos,
. - Nos pontos da fronteira,
atinge os valores máximos e mínimos absolutos de e respectivamente.
Resposta
O máximo absoluto de
na região
é
e o mínimo absoluto é
.
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, onde
,
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Use o teorema de Lagrange para encontrar
e
conforme o caso:
(22.3) e
(22.3)