Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
(e^(x+y) - y) dx + (x e^(x+y) + 1) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial! O enunciado nos pede para verificar se a EDO é exata, e caso não seja, encontrar um fator integrante para torná-la exata. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais ordinárias (EDOs) e, mais especificamente, EDOs exatas. Para resolver, vamos precisar verificar a exatidão da equação e, se necessário, achar um fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na equação dada:
A equação diferencial está na forma:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Se , a equação é exata.

Passo 4

Vamos comparar as derivadas:
Claramente, . Portanto, a equação não é exata. Precisamos encontrar um fator integrante para torná-la exata.

Passo 5

Procuremos um fator integrante que depende apenas de ou . Vamos tentar um fator que depende apenas de . A condição para tornar a equação exata é:
Calculando :
Substituindo na equação do fator integrado:
Isso parece complicado, então vamos tentar um fator integrante que depende de .

Passo 6

Assumindo , a condição para exatidão se torna:
Calculando:
Substituindo na condição:
Ainda complicado, parece que precisamos de outra abordagem. Vamos tentar encontrar um fator integrante por inspeção.

Passo 7

Observando a equação original:
Perceba que aparece em ambos os termos. Tentemos usar como fator integrante:
Vamos verificar se a equação é agora exata.

Passo 8

Calculamos as derivadas parciais novamente:
Não são iguais, então não funcionou. Vamos tentar .

Passo 9

Aplicando :
Agora, vamos verificar a exatidão:
Ainda não são iguais. Parece que precisamos de outro método. Vamos tentar encontrar que torne a equação exata, mas isso pode ser complexo. Como alternativa, podemos reorganizar a equação.

Passo 10

Vamos tentar separar as variáveis. Reescrevendo a equação:
Podemos tentar expressar em termos de :
Isso ainda não facilita muito, então vamos voltar e tentar outra abordagem para o fator integrante.

Passo 11

Vamos assumir que o fator integrante é da forma . Já vimos que isso não funcionou diretamente, mas talvez multiplicando por possamos encontrar uma equação mais simples. Vamos tentar novamente:
Agora, verificamos exatidão:
Ainda não são iguais. Parece que precisamos tentar um fator mais elaborado ou uma técnica diferente, como usar um fator integrante dependente de .

Passo 12

Vamos tentar um fator integrante que dependa de . Assumindo :
Verificando exatidão:
Ainda não são iguais. Parece que estamos presos aqui, então vamos tentar outra abordagem.

Passo 13

Vamos tentar encontrar uma solução particular da equação original. Suponhamos que exista uma função tal que:
Integrando a primeira equação em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos à segunda equação:
Comparando os termos:
Isolando :
Isso não depende apenas de , o que indica que nossa tentativa de construir diretamente não funcionou. Precisamos voltar e achar um fator integrante adequado.

Passo 14

Parece que a melhor opção é admitir que a equação não é exata e que encontrar um fator integrante simples não é trivial. Portanto, usaremos uma abordagem diferente ou reconhecemos que a equação não possui uma solução expressa em termos elementares.

Resposta

Após várias tentativas, concluímos que a equação diferencial não é exata e não encontramos um fator integrante simples para torná-la exata. Portanto, a solução geral da EDO não pode ser expressa de forma elementar usando os métodos aplicados.

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