Encontre a derivada direcional no ponto
na direção do vetor
, onde
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função
em três pontos diferentes
e nas direções dos vetores
correspondentes. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente e produto escalar. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e depois aplicar essas informações para cada ponto e vetor dado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
. Ou seja:
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Então, o gradiente fica:
Passo 3
A derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
é dada por:
Aqui,
é o vetor unitário na direção de
, ou seja:
Então, para cada ponto e vetor dado, vamos seguir esses passos:
- Calcular
. - Normalizar o vetor
para obter . - Fazer o produto escalar entre
e para encontrar a derivada direcional.
Passo 4
Vamos resolver para cada par de
e
:
a)
e
:
- Calcular
:
- Normalizar
:
- Calcular o produto escalar:
b)
e
:
- Calcular
:
- Normalizar
:
- Calcular o produto escalar:
c)
e
:
- Calcular
:
- Normalizar
:
- Calcular o produto escalar:
Resposta
As derivadas direcionais da função
nos pontos e direções especificados são:
a) Em
na direção de
:
b) Em
na direção de
:
c) Em
na direção de
: