Encontre a derivada direcional no ponto P0 na direção do vetor u, onde
f(x, y) = e^x cos(y) + e^y sen(x),
P0=(0,1), u=(2,2) ; P0=(0,2), u=(-2,3) ; P0=(1,0), u=(-2,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função em três pontos diferentes e nas direções dos vetores correspondentes. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente e produto escalar. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , e depois aplicar essas informações para cada ponto e vetor dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e . Ou seja:
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
Então, o gradiente fica:

Passo 3

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é dada por:
Aqui, é o vetor unitário na direção de , ou seja:
Então, para cada ponto e vetor dado, vamos seguir esses passos:
  1. Calcular .
  2. Normalizar o vetor para obter .
  3. Fazer o produto escalar entre e para encontrar a derivada direcional.

Passo 4

Vamos resolver para cada par de e :

a) e :
  1. Calcular :
  1. Normalizar :
  1. Calcular o produto escalar:

b) e :
  1. Calcular :
  1. Normalizar :
  1. Calcular o produto escalar:

c) e :
  1. Calcular :
  1. Normalizar :
  1. Calcular o produto escalar:

Resposta

As derivadas direcionais da função nos pontos e direções especificados são:
a) Em na direção de :
b) Em na direção de :
c) Em na direção de :

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