Qual o ponto da superfície
cuja distância à origem é mínima?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar o ponto na superfície definida por
que está mais perto da origem (0,0,0). Para isso, vamos usar o conceito de minimização de distância usando multiplicadores de Lagrange. Isso vai nos ajudar a encontrar o ponto mínimo sem complicar muito as coisas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a distância de um ponto
até a origem é dada pela fórmula:
Mas para facilitar, em vez de minimizar
, a gente pode minimizar
, que é equivalente e sem a raiz quadrada.
Passo 3
Agora, temos uma restrição: o ponto
precisa estar na superfície
. Para resolver isso, vamos usar os multiplicadores de Lagrange, que nos ajudam a encontrar máximos e mínimos de funções sujeitas a restrições.
Passo 4
Definimos a função que queremos minimizar:
E a restrição:
O próximo passo é montar as equações de Lagrange, que dizem que o gradiente de
é igual a um múltiplo escalar (
) do gradiente de
:
Passo 5
Calculando os gradientes:
Então, temos:
Passo 6
Vamos analisar cada equação:
- Da equação (1): Se
, então . Mas se , precisamos ver o que acontece nas outras equações. - Da equação (3): Se
, então . Se , também precisamos verificar.
Vamos considerar o caso mais simples onde
e
.
Passo 7
Com
e
, a restrição fica:
Resolvemos essa equação quadrática para
:
Então,
ou
.
Passo 8
Agora, substituímos esses valores de
de volta para encontrar os pontos:
- Se
, então e . O ponto é . - Se
, então e . O ponto é .
Passo 9
Calculamos a distância de cada ponto à origem:
- Para
:
- Para
:
O ponto mais próximo é aquele com menor distância.
Resposta
O ponto da superfície
cuja distância à origem é mínima é
.