Qual o ponto da superfície x^2 + 3y^2 + 2y + 3z^2 = 1 cuja distância à origem é mínima?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar o ponto na superfície definida por que está mais perto da origem (0,0,0). Para isso, vamos usar o conceito de minimização de distância usando multiplicadores de Lagrange. Isso vai nos ajudar a encontrar o ponto mínimo sem complicar muito as coisas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a distância de um ponto até a origem é dada pela fórmula:
Mas para facilitar, em vez de minimizar , a gente pode minimizar , que é equivalente e sem a raiz quadrada.

Passo 3

Agora, temos uma restrição: o ponto precisa estar na superfície . Para resolver isso, vamos usar os multiplicadores de Lagrange, que nos ajudam a encontrar máximos e mínimos de funções sujeitas a restrições.

Passo 4

Definimos a função que queremos minimizar:
E a restrição:
O próximo passo é montar as equações de Lagrange, que dizem que o gradiente de é igual a um múltiplo escalar ( ) do gradiente de :

Passo 5

Calculando os gradientes:
Então, temos:

Passo 6

Vamos analisar cada equação:
  • Da equação (1): Se , então . Mas se , precisamos ver o que acontece nas outras equações.
  • Da equação (3): Se , então . Se , também precisamos verificar.
Vamos considerar o caso mais simples onde e .

Passo 7

Com e , a restrição fica:
Resolvemos essa equação quadrática para :
Então, ou .

Passo 8

Agora, substituímos esses valores de de volta para encontrar os pontos:
  • Se , então e . O ponto é .
  • Se , então e . O ponto é .

Passo 9

Calculamos a distância de cada ponto à origem:
  • Para :
  • Para :
O ponto mais próximo é aquele com menor distância.

Resposta

O ponto da superfície cuja distância à origem é mínima é .

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