Ache os máximos e mínimos relativos (absolutos) de
na região
.
a)
e
;
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os pontos onde a função
atinge seus máximos e mínimos dentro da região
. A matéria envolvida é otimização de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta na região definida por
.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na região
. Ela é definida por
. Isso significa que
varia de 0 até a parábola
. Para entender melhor, vamos desenhar essa parábola.
Passo 3
A parábola
pode ser reescrita completando o quadrado ou encontrando seu vértice. O vértice dessa parábola está no ponto
,
. Então, a região
é a área entre a linha
(eixo x) e essa parábola, de
a
.
Passo 4
Agora, vamos analisar onde a função
pode atingir seus extremos nessa região. Como a função é linear, os máximos e mínimos ocorrem nos limites da região
. Isso significa que precisamos examinar os valores de
nas bordas de
.
Passo 5
As bordas de
são:
- A linha
(eixo x), onde . - A parábola
, onde . - Os pontos de interseção, que são
e .
Vamos calcular
em cada uma dessas bordas.
Passo 6
Primeiro, na linha
:
Essa é uma função linear decrescente. Então, no intervalo
,
atinge seu máximo em
e mínimo em
:
Passo 7
Agora, na parábola
:
Essa é uma função quadrática. Vamos encontrar seu máximo. O vértice está em:
Calculando
nesse ponto:
Esse é o valor máximo na parábola.
Passo 8
Finalmente, verificamos os pontos de interseção já calculados:
Comparando todos os valores:
- Máximo: aproximadamente
em - Mínimo:
em
Resposta
O máximo relativo de
na região
é aproximadamente
no ponto
e o mínimo relativo é
no ponto
.