Ache os máximos e mínimos relativos (absolutos) de f(x, y) na região D.
a) f(x, y) = -x + 2y + 3 e D = {(x, y) em R^2 : 0 <= y <= -x^2 + 4x};

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os pontos onde a função atinge seus máximos e mínimos dentro da região . A matéria envolvida é otimização de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta na região definida por .

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na região . Ela é definida por . Isso significa que varia de 0 até a parábola . Para entender melhor, vamos desenhar essa parábola.

Passo 3

A parábola pode ser reescrita completando o quadrado ou encontrando seu vértice. O vértice dessa parábola está no ponto , . Então, a região é a área entre a linha (eixo x) e essa parábola, de a .

Passo 4

Agora, vamos analisar onde a função pode atingir seus extremos nessa região. Como a função é linear, os máximos e mínimos ocorrem nos limites da região . Isso significa que precisamos examinar os valores de nas bordas de .

Passo 5

As bordas de são:
  1. A linha (eixo x), onde .
  2. A parábola , onde .
  3. Os pontos de interseção, que são e .
Vamos calcular em cada uma dessas bordas.

Passo 6

Primeiro, na linha :
Essa é uma função linear decrescente. Então, no intervalo , atinge seu máximo em e mínimo em :

Passo 7

Agora, na parábola :
Essa é uma função quadrática. Vamos encontrar seu máximo. O vértice está em:
Calculando nesse ponto:
Esse é o valor máximo na parábola.

Passo 8

Finalmente, verificamos os pontos de interseção já calculados:
Comparando todos os valores:
  • Máximo: aproximadamente em
  • Mínimo: em

Resposta

O máximo relativo de na região é aproximadamente no ponto e o mínimo relativo é no ponto .

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