Seja
, onde
é uma constante.
a) Verifique que, para todo
, o par
é um ponto crítico de
.
a) Verifique que, para todo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
, onde
é uma constante real. O exercício pede para a gente verificar que, para qualquer valor de
, o par
é um ponto crítico dessa função. Ou seja, queremos mostrar que as derivadas parciais de
em relação a
e
são iguais a zero nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
e avaliar elas em
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que a gente chama de
. Para isso, tratamos
como uma constante e diferenciamos em relação a
:
Derivando termo a termo:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que chamamos de
. Aqui, tratamos
como uma constante e diferenciamos em relação a
:
Derivando termo a termo:
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Como ambas as derivadas parciais
e
são iguais a zero no ponto
, isso significa que
é um ponto crítico da função
para qualquer valor real de
.
Resposta
O par
é um ponto crítico da função
para todo
.
Exercícios relacionados
Encontre o máximo e o mínimo de
no compacto
.
b) e
.
b)
Encontre, caso existam, os valores máximo e mínimo de
em
, bem como os pontos onde estes valores são assumidos:
d) e
e
.
d)
Ache os máximos e mínimos relativos (absolutos) de
na região
.
a) e
;
a)
A temperatura num ponto
do espaço é dada por
. Determine os pontos da esfera
onde a temperatura é mais alta e onde é mais baixa. Justifique.