Seja
, onde
é uma constante.
a) Verifique que, para todo
, o par
é um ponto crítico de
.
a) Verifique que, para todo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
, onde
é uma constante real. O exercício pede para a gente verificar que, para qualquer valor de
, o par
é um ponto crítico dessa função. Ou seja, queremos mostrar que as derivadas parciais de
em relação a
e
são iguais a zero nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
e avaliar elas em
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que a gente chama de
. Para isso, tratamos
como uma constante e diferenciamos em relação a
:
Derivando termo a termo:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que chamamos de
. Aqui, tratamos
como uma constante e diferenciamos em relação a
:
Derivando termo a termo:
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Como ambas as derivadas parciais
e
são iguais a zero no ponto
, isso significa que
é um ponto crítico da função
para qualquer valor real de
.
Resposta
O par
é um ponto crítico da função
para todo
.