Seja f(x, y) = k(x^2 + y^2) - 2xy, onde k é uma constante.
a) Verifique que, para todo k pertence aos reais, o par (0,0) é um ponto crítico de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função , onde é uma constante real. O exercício pede para a gente verificar que, para qualquer valor de , o par é um ponto crítico dessa função. Ou seja, queremos mostrar que as derivadas parciais de em relação a e são iguais a zero nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de e avaliar elas em .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que a gente chama de . Para isso, tratamos como uma constante e diferenciamos em relação a :
Derivando termo a termo:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que chamamos de . Aqui, tratamos como uma constante e diferenciamos em relação a :
Derivando termo a termo:

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :
Para :
Para :

Passo 5

Como ambas as derivadas parciais e são iguais a zero no ponto , isso significa que é um ponto crítico da função para qualquer valor real de .

Resposta

O par é um ponto crítico da função para todo .

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