Seja , onde é uma constante.
b) Para cada valor de , classifique o ponto crítico com relação a máximos e mínimos locais e sela. Existem valores de para os quais podemos afirmar que é extremo absoluto (global) de ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função , onde é uma constante. A tarefa é analisar o ponto crítico dessa função para diferentes valores de , classificando esse ponto como máximo local, mínimo local, ponto de sela ou extremo absoluto. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e a matriz Hessiana.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Os pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais de em relação a e são iguais a zero.
Calculando as derivadas parciais:
Igualando a zero:
Substituindo a equação (1) na equação (2):
Se , podemos dividir ambos os lados por :
No entanto, estamos analisando o ponto , que é um ponto crítico independente do valor de .

Passo 3

Agora, vamos usar a matriz Hessiana para classificar o ponto crítico . A matriz Hessiana é formada pelas segundas derivadas parciais de :
Calculando as segundas derivadas:
Então, a matriz Hessiana é:

Passo 4

Para classificar o ponto crítico, vamos calcular o determinante da Hessiana :
Agora, analisamos os valores de e a derivada segunda em relação a ( ):
  1. Se e : ponto mínimo local.
  2. Se e : ponto máximo local.
  3. Se : ponto de sela.
  4. Se : teste inconclusivo.

Passo 5

Vamos resolver :
Então, para :
  • Se : → mínimo local.
  • Se : → máximo local.
Para :
Isso indica que é um ponto de sela.
Para :
O teste inconclusivo, mas geralmente isso também leva a um ponto de sela ou um caso especial que não classifica como máximo ou mínimo.

Passo 6

Agora, sobre a existência de valores de para os quais é um extremo absoluto (global):
  • Quando : a função tende a quando e aumentam, e é um mínimo local. Como a função é convexa nessa região, é também o mínimo global.
  • Quando : a função tende a quando e aumentam, e é um máximo local. Como a função é côncava nessa região, é também o máximo global.
Para , não é um extremo absoluto, pois a função não está limitada nessas condições.

Resposta

Para cada valor de :
  • Se : é um mínimo local e também um mínimo absoluto de .
  • Se : é um máximo local e também um máximo absoluto de .
  • Se : é um ponto de sela e não é um extremo absoluto.
Então, existem valores de (especificamente, ou ) para os quais é um extremo absoluto da função .

Exercícios relacionados

A temperatura num ponto do espaço é dada por . Determine os pontos da esfera onde a temperatura é mais alta e onde é mais baixa. Justifique.
Ache os máximos e mínimos relativos (absolutos) de na região .
a) e ;
Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
f)
Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
j)