A temperatura num ponto do espaço é dada por . Determine os pontos da esfera onde a temperatura é mais alta e onde é mais baixa. Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que achar onde a temperatura é máxima e mínima na esfera . Vamos usar cálculo multivariável, mais especificamente, o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a encontrar extremos (máximos e mínimos) de funções sujeitas a restrições.

Passo 2

Primeiro, identificamos a função que queremos otimizar, que é a temperatura , e a restrição, que é a equação da esfera . O método dos multiplicadores de Lagrange nos diz que, nos pontos extremos, o gradiente da função deve ser proporcional ao gradiente da restrição. Ou seja, existe um multiplicador tal que:
onde .

Passo 3

Calculamos os gradientes:
Então, a equação fica:

Passo 4

Agora, temos um sistema de equações:
  1. (restrição)
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .

Passo 5

Da equação (1) e (3), temos:
Substituindo na equação (2):
Usando a equação (1):
Substituindo na :

Passo 6

Agora sabemos que e . Vamos usar a restrição :
Então:
  • Se , então e , então .
  • Se , então e .

Passo 7

Agora temos quatro pontos possíveis:
Vamos calcular a temperatura em cada um desses pontos:

Resposta

Os pontos na esfera onde a temperatura é mais alta são e com temperatura . Já os pontos onde a temperatura é mais baixa são e com temperatura .

Exercícios relacionados

Ache os máximos e mínimos relativos (absolutos) de na região .
a) e ;
Seja , onde é uma constante.
a) Verifique que, para todo , o par é um ponto crítico de .
Seja , onde é uma constante.
b) Para cada valor de , classifique o ponto crítico com relação a máximos e mínimos locais e sela. Existem valores de para os quais podemos afirmar que é extremo absoluto (global) de ?
Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
f)