A temperatura num ponto
do espaço é dada por
. Determine os pontos da esfera
onde a temperatura é mais alta e onde é mais baixa. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que achar onde a temperatura
é máxima e mínima na esfera
. Vamos usar cálculo multivariável, mais especificamente, o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a encontrar extremos (máximos e mínimos) de funções sujeitas a restrições.
Passo 2
Primeiro, identificamos a função que queremos otimizar, que é a temperatura
, e a restrição, que é a equação da esfera
. O método dos multiplicadores de Lagrange nos diz que, nos pontos extremos, o gradiente da função
deve ser proporcional ao gradiente da restrição. Ou seja, existe um multiplicador
tal que:
onde
.
Passo 3
Calculamos os gradientes:
Então, a equação
fica:
Passo 4
Agora, temos um sistema de equações:
-
-
-
-
(restrição)
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
e
.
Passo 5
Da equação (1) e (3), temos:
Substituindo
na equação (2):
Usando a equação (1):
Substituindo na
:
Passo 6
Agora sabemos que
e
. Vamos usar a restrição
:
Então:
- Se
, então e , então . - Se
, então e .
Passo 7
Agora temos quatro pontos possíveis:
Vamos calcular a temperatura
em cada um desses pontos:
Resposta
Os pontos na esfera onde a temperatura é mais alta são
e
com temperatura
. Já os pontos onde a temperatura é mais baixa são
e
com temperatura
.
Exercícios relacionados
Ache os máximos e mínimos relativos (absolutos) de
na região
.
a) e
;
a)
Seja
, onde
é uma constante.
a) Verifique que, para todo , o par
é um ponto crítico de
.
a) Verifique que, para todo
Seja
, onde
é uma constante.
b) Para cada valor de , classifique o ponto crítico
com relação a máximos e mínimos locais e sela. Existem valores de
para os quais podemos afirmar que
é extremo absoluto (global) de
?
b) Para cada valor de
Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
f)
f)