Ache o menor mútiplo de 5 que deixa resto 2 quando dividido por 3 e por 4 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o menor múltiplo de 5 que, quando dividido por 3 e por 4, deixa resto 2. Vamos usar conceitos de divisibilidade e congruências para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser múltiplo de 5. Isso quer dizer que o número que estamos procurando pode ser expresso como
, onde
é um número inteiro positivo.
Passo 3
Agora, queremos que esse número, ao ser dividido por 3, deixe resto 2. Em termos de congruência, isso fica:
Passo 4
Da mesma forma, ao dividir esse número por 4, deve deixar resto 2:
Passo 5
Vamos resolver essas duas congruências. Primeiro, simplificamos a primeira:
Como
, temos:
Dividindo ambos os lados por 2 (que é inversível módulo 3), obtemos:
Passo 6
Agora, resolvemos a segunda congruência:
Como
, fica:
Passo 7
Temos agora duas condições para
:
Vamos encontrar o menor valor de
que satisfaz ambas. Testando valores:
-
: — não atende. -
: e — não atende. -
: — não atende. -
: — não atende. -
: e — não atende. -
: já testado. -
: vamos direto ao ponto para ser mais rápido.
Passo 8
Depois de testar, encontramos que
não atende, mas
não é equivalente a 1 módulo 3. O menor
que satisfaz ambas as condições é
.
Resposta
O menor múltiplo de 5 que deixa resto 2 quando dividido por 3 e por 4 é 50.
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(e) da soma de
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(b) Prove que .
(b) Prove que
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Mostre que um natural
é par se e somente se
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.