Ache o menor mútiplo de 5 que deixa resto 2 quando dividido por 3 e por 4 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o menor múltiplo de 5 que, quando dividido por 3 e por 4, deixa resto 2. Vamos usar conceitos de divisibilidade e congruências para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser múltiplo de 5. Isso quer dizer que o número que estamos procurando pode ser expresso como , onde é um número inteiro positivo.

Passo 3

Agora, queremos que esse número, ao ser dividido por 3, deixe resto 2. Em termos de congruência, isso fica:

Passo 4

Da mesma forma, ao dividir esse número por 4, deve deixar resto 2:

Passo 5

Vamos resolver essas duas congruências. Primeiro, simplificamos a primeira:
Como , temos:
Dividindo ambos os lados por 2 (que é inversível módulo 3), obtemos:

Passo 6

Agora, resolvemos a segunda congruência:
Como , fica:

Passo 7

Temos agora duas condições para :
Vamos encontrar o menor valor de que satisfaz ambas. Testando valores:
  • : — não atende.
  • : e — não atende.
  • : — não atende.
  • : — não atende.
  • : e — não atende.
  • : já testado.
  • : vamos direto ao ponto para ser mais rápido.

Passo 8

Depois de testar, encontramos que não atende, mas não é equivalente a 1 módulo 3. O menor que satisfaz ambas as condições é .

Resposta

O menor múltiplo de 5 que deixa resto 2 quando dividido por 3 e por 4 é 50.

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