Discuta a paridade
(a) da soma de dois números.
(b) da diferença de dois números.
© do produto de dois números.
(d) da potência de um número.
(e) da soma de números ímpares

Passo 1

Beleza, então a gente vai discutir a paridade em diferentes operações matemáticas. Paridade significa se um número é par ou ímpar. Vamos ver como somar, subtrair, multiplicar, elevar à potência e somar vários números ímpares afeta se o resultado é par ou ímpar. Para isso, vamos precisar entender as regras básicas de paridade para cada uma dessas operações.

Passo 2

a) A paridade da soma de dois números
Primeiro, vamos ver o que acontece quando somamos dois números. Existem quatro combinações possíveis:
  1. Par + Par: Dois números pares somados sempre dão um número par. Por exemplo, 2 + 4 = 6.
  2. Par + Ímpar: Um número par mais um ímpar sempre resulta em um número ímpar. Por exemplo, 2 + 3 = 5.
  3. Ímpar + Par: Igual ao anterior, dá ímpar. Exemplo: 3 + 2 = 5.
  4. Ímpar + Ímpar: Dois números ímpares somados dão um número par. Por exemplo, 3 + 5 = 8.
Então, a soma de dois números pode ser par ou ímpar dependendo de quais tipos de números estamos somando.

Passo 3

b) A paridade da diferença de dois números
Agora, vamos ver a diferença entre dois números. As combinações são as mesmas da soma:
  1. Par - Par: A diferença de dois números pares é par. Por exemplo, 4 - 2 = 2.
  2. Par - Ímpar: Um número par menos um ímpar dá ímpar. Por exemplo, 4 - 3 = 1.
  3. Ímpar - Par: Um número ímpar menos um par também dá ímpar. Por exemplo, 5 - 2 = 3.
  4. Ímpar - Ímpar: A diferença de dois números ímpares é par. Por exemplo, 5 - 3 = 2.
Portanto, a diferença de dois números pode ser par ou ímpar, dependendo dos números envolvidos.

Passo 4

c) A paridade do produto de dois números
Vamos falar sobre multiplicação agora. As regras são um pouco diferentes:
  1. Par × Par: Produto de dois pares é par. Por exemplo, 2 × 4 = 8.
  2. Par × Ímpar: Produto de par com ímpar é par. Por exemplo, 2 × 3 = 6.
  3. Ímpar × Par: Igual ao anterior, dá par. Exemplo: 3 × 2 = 6.
  4. Ímpar × Ímpar: Produto de dois ímpares é ímpar. Por exemplo, 3 × 5 = 15.
Então, na multiplicação, só fica ímpar se ambos os números forem ímpares. Qualquer outra combinação resulta em um número par.

Passo 5

d) A paridade da potência de um número
Agora, vamos ver o que acontece quando elevamos um número à potência:
  1. Par elevado a qualquer potência positiva: Sempre dá par. Por exemplo, .
  2. Ímpar elevado a qualquer potência positiva: Sempre dá ímpar. Por exemplo, .
Então, se a base é par, o resultado será par, não importa a potência. Se a base é ímpar, o resultado sempre será ímpar.

Passo 6

e) A paridade da soma de números ímpares
Por fim, vamos analisar a soma de números ímpares. Sabemos que a soma de dois ímpares dá par. Vamos ver o que acontece com mais termos:
  • Se for par: A soma de um número par de ímpares será par. Por exemplo, 3 + 5 + 7 + 9 = 24 (par).
  • Se for ímpar: A soma de um número ímpar de ímpares será ímpar. Por exemplo, 3 + 5 + 7 = 15 (ímpar).
Então, a paridade da soma depende de quantos números ímpares estamos somando.

Resposta

Resumindo:
a) A soma de dois números é par se ambos forem pares ou ambos forem ímpares; caso contrário, é ímpar.
b) A diferença de dois números é par se ambos forem pares ou ambos forem ímpares; caso contrário, é ímpar.
c) O produto de dois números é par se pelo menos um deles for par; só é ímpar se ambos forem ímpares.
d) A potência de um número é par se a base for par, independentemente do expoente; é ímpar se a base for ímpar.
e) A soma de números ímpares é par se for par e ímpar se for ímpar.

Exercícios relacionados

(a) Prove que ! para todo composto.
(b) Prove que .
Sejam . Prove as seguintes afirmações
(a) .
(b) Se , então ou 2 .
© Se e , então . Prove que se a afirmação não vale.
(d) e para algum , então e são quadrados perfeitos.
Ache o menor mútiplo de 5 que deixa resto 2 quando dividido por 3 e por 4 .
Calcule o mdc entre 4774 e 4168. Encontre, se existir, uma solução para a equação diofantina