Discuta a paridade
(a) da soma de dois números.
(b) da diferença de dois números.
© do produto de dois números.
(d) da potência de um número.
(e) da soma de
números ímpares
(a) da soma de dois números.
(b) da diferença de dois números.
© do produto de dois números.
(d) da potência de um número.
(e) da soma de
Passo 1
Beleza, então a gente vai discutir a paridade em diferentes operações matemáticas. Paridade significa se um número é par ou ímpar. Vamos ver como somar, subtrair, multiplicar, elevar à potência e somar vários números ímpares afeta se o resultado é par ou ímpar. Para isso, vamos precisar entender as regras básicas de paridade para cada uma dessas operações.
Passo 2
a) A paridade da soma de dois números
Primeiro, vamos ver o que acontece quando somamos dois números. Existem quatro combinações possíveis:
- Par + Par: Dois números pares somados sempre dão um número par. Por exemplo, 2 + 4 = 6.
- Par + Ímpar: Um número par mais um ímpar sempre resulta em um número ímpar. Por exemplo, 2 + 3 = 5.
- Ímpar + Par: Igual ao anterior, dá ímpar. Exemplo: 3 + 2 = 5.
- Ímpar + Ímpar: Dois números ímpares somados dão um número par. Por exemplo, 3 + 5 = 8.
Então, a soma de dois números pode ser par ou ímpar dependendo de quais tipos de números estamos somando.
Passo 3
b) A paridade da diferença de dois números
Agora, vamos ver a diferença entre dois números. As combinações são as mesmas da soma:
- Par - Par: A diferença de dois números pares é par. Por exemplo, 4 - 2 = 2.
- Par - Ímpar: Um número par menos um ímpar dá ímpar. Por exemplo, 4 - 3 = 1.
- Ímpar - Par: Um número ímpar menos um par também dá ímpar. Por exemplo, 5 - 2 = 3.
- Ímpar - Ímpar: A diferença de dois números ímpares é par. Por exemplo, 5 - 3 = 2.
Portanto, a diferença de dois números pode ser par ou ímpar, dependendo dos números envolvidos.
Passo 4
c) A paridade do produto de dois números
Vamos falar sobre multiplicação agora. As regras são um pouco diferentes:
- Par × Par: Produto de dois pares é par. Por exemplo, 2 × 4 = 8.
- Par × Ímpar: Produto de par com ímpar é par. Por exemplo, 2 × 3 = 6.
- Ímpar × Par: Igual ao anterior, dá par. Exemplo: 3 × 2 = 6.
- Ímpar × Ímpar: Produto de dois ímpares é ímpar. Por exemplo, 3 × 5 = 15.
Então, na multiplicação, só fica ímpar se ambos os números forem ímpares. Qualquer outra combinação resulta em um número par.
Passo 5
d) A paridade da potência de um número
Agora, vamos ver o que acontece quando elevamos um número à potência:
- Par elevado a qualquer potência positiva: Sempre dá par. Por exemplo,
. - Ímpar elevado a qualquer potência positiva: Sempre dá ímpar. Por exemplo,
.
Então, se a base é par, o resultado será par, não importa a potência. Se a base é ímpar, o resultado sempre será ímpar.
Passo 6
e) A paridade da soma de
números ímpares
Por fim, vamos analisar a soma de
números ímpares. Sabemos que a soma de dois ímpares dá par. Vamos ver o que acontece com mais termos:
- Se
for par: A soma de um número par de ímpares será par. Por exemplo, 3 + 5 + 7 + 9 = 24 (par). - Se
for ímpar: A soma de um número ímpar de ímpares será ímpar. Por exemplo, 3 + 5 + 7 = 15 (ímpar).
Então, a paridade da soma depende de quantos números ímpares estamos somando.
Resposta
Resumindo:
a) A soma de dois números é par se ambos forem pares ou ambos forem ímpares; caso contrário, é ímpar.
b) A diferença de dois números é par se ambos forem pares ou ambos forem ímpares; caso contrário, é ímpar.
c) O produto de dois números é par se pelo menos um deles for par; só é ímpar se ambos forem ímpares.
d) A potência de um número é par se a base for par, independentemente do expoente; é ímpar se a base for ímpar.
e) A soma de
números ímpares é par se
for par e ímpar se
for ímpar.
Exercícios relacionados
(a) Prove que
! para todo
composto.
(b) Prove que .
(b) Prove que
Sejam
. Prove as seguintes afirmações
(a) .
(b) Se , então
ou 2 .
© Se e
, então
. Prove que se
a afirmação não vale.
(d) e
para algum
, então
e
são quadrados perfeitos.
(a)
(b) Se
© Se
(d)
Ache o menor mútiplo de 5 que deixa resto 2 quando dividido por 3 e por 4 .
Calcule o mdc entre 4774 e 4168. Encontre, se existir, uma solução para a equação diofantina