Mostre que um natural a é par se e somente se a^n é par para qualquer n in N.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Queremos mostrar que um número natural a é par se e somente se a^n também é par para qualquer n que pertença aos números naturais N. Basicamente, vamos trabalhar com conceitos de números pares e propriedades de exponenciação para provar essa equivalência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um número ser par. Um número a é par se ele pode ser escrito como , onde k é um número inteiro. Isso significa que a é divisível por 2 sem deixar resto.

Passo 3

Agora, vamos analisar a proposição “se a é par, então a^n é par”. Suponha que . Então, elevando a a qualquer potência n, temos:
Como 2^n é múltiplo de 2 para qualquer n ≥ 1, isso mostra que a^n também é múltiplo de 2, ou seja, a^n é par.

Passo 4

Agora, vamos demonstrar a outra direção: “se a^n é par para qualquer n in N, então a é par”. Vamos considerar o caso quando :
Se é par, isso implica que a mesmo é par.

Passo 5

Portanto, mostramos que:
  1. Se a é par, então a^n é par para qualquer n in N.
  2. Se a^n é par para qualquer n in N, então a é par.
Assim, concluímos que a é par se e somente se a^n é par para qualquer n in N.

Resposta

Concluímos que um número natural a é par se e somente se a^n é par para qualquer n in N.

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