Mostre que um natural é par se e somente se é par para qualquer .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Queremos mostrar que um número natural é par se e somente se também é par para qualquer que pertença aos números naturais . Basicamente, vamos trabalhar com conceitos de números pares e propriedades de exponenciação para provar essa equivalência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um número ser par. Um número é par se ele pode ser escrito como , onde é um número inteiro. Isso significa que é divisível por 2 sem deixar resto.

Passo 3

Agora, vamos analisar a proposição “se é par, então é par”. Suponha que . Então, elevando a qualquer potência , temos:
Como é múltiplo de 2 para qualquer , isso mostra que também é múltiplo de 2, ou seja, é par.

Passo 4

Agora, vamos demonstrar a outra direção: “se é par para qualquer , então é par”. Vamos considerar o caso quando :
Se é par, isso implica que mesmo é par.

Passo 5

Portanto, mostramos que:
  1. Se é par, então é par para qualquer .
  2. Se é par para qualquer , então é par.
Assim, concluímos que é par se e somente se é par para qualquer .

Resposta

Concluímos que um número natural é par se e somente se é par para qualquer .

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