Mostre que um natural
é par se e somente se
é par para qualquer
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Queremos mostrar que um número natural
é par se e somente se
também é par para qualquer
que pertença aos números naturais
. Basicamente, vamos trabalhar com conceitos de números pares e propriedades de exponenciação para provar essa equivalência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um número ser par. Um número
é par se ele pode ser escrito como
, onde
é um número inteiro. Isso significa que
é divisível por 2 sem deixar resto.
Passo 3
Agora, vamos analisar a proposição “se
é par, então
é par”. Suponha que
. Então, elevando
a qualquer potência
, temos:
Como
é múltiplo de 2 para qualquer
, isso mostra que
também é múltiplo de 2, ou seja,
é par.
Passo 4
Agora, vamos demonstrar a outra direção: “se
é par para qualquer
, então
é par”. Vamos considerar o caso quando
:
Se
é par, isso implica que
mesmo é par.
Passo 5
Portanto, mostramos que:
- Se
é par, então é par para qualquer . - Se
é par para qualquer , então é par.
Assim, concluímos que
é par se e somente se
é par para qualquer
.
Resposta
Concluímos que um número natural
é par se e somente se
é par para qualquer
.
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Seja
. O número
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